• 动态规划法面试题(一):矩形覆盖


    关于矩形覆盖面试题

      之前已经在上一篇分治法面试题(一):矩形覆盖一文中给出了该问题的递归解法。但是上面的分析可以看出效率不高,主要是存在大量重复元素的计算。那么如何避免大量重复元素的计算呢?这里将给出几种解决方案。

    关于动态规划

      动态规划的思想与我们上篇探讨的分治法相似,也是通过组合子问题的解从而得到整个问题的解。从上节给出的题目看得出来,分治分解出的子问题都是相对独立的,但是动态规划分解的子问题通常不是独立存在的。分治法有时候存在分解后的问题太多,因而重复计算也多的问题。那么如果能够保存已求得的子问题的答案,从而在再次使用的时候调出,就会节省大量的时间。我们可以用一个表(数组)来存放求得的子问题的解,这就是动态规划的思想。

      下面就给出集中解决方案,题目仍采用上篇所述的矩形覆盖。

    解决方案1

    class Solution {
    public:
        int a[1000];//采用动态数组更好,此处仅作演示
        int rectCover(int number) {
            if(a[number]!=0)
                return a[number];
            if(number<=0) return 0;
            if(number==1) a[number]=1;
            else if(number==2) a[number]=2;
            else
                {
                int p=rectCover(number-1);
                int q=rectCover(number-2);
                a[number]=p+q;
            }
            return a[number];
        }
    };

      该解法称为动态规划的“备忘录”法,即带备忘的自顶向下法。感兴趣的可以拿上篇分析的rectCover(5)来试试,rectCover(1),rectCover(2)都只需要计算一次。即如果该元素已经被计算过了,那就直接“取”。

    解决方案2

     1 class Solution {
     2 //自底向上
     3 public:
     4     int a[1000];
     5     int rectCover(int number) {
     6        a[1]=1;
     7         a[2]=2;
     8         for(int i=3;i<=number;i++)
     9             a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    10         return a[number];;
    11     }
    12 };

      事实上,解法一是动态规划的变形形式,动态规划一般的都是自底向上求解,如解法2。

    解决方案3

     1 class Solution {
     2 public:
     3     int rectCover(int number) {
     4       if(number<=0) return 0;
     5         if(number==1) return 1;
     6         if(number==2) return 2;
     7         int num1=1;
     8         int num2=2;
     9         int result=0;
    10         number=number-2;
    11         while(number--){
    12             result=num1+num2;
    13             num1=num2;
    14             num2=result;
    15         }
    16         return result;
    17     }
    18 };

      解决方案3的最大的优势是不需要额外的数组来存放元素。

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