「ABC217H」Snuketoon

题目

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分析

其实是一道比较套路的题目。一开始就并不那么容易想到如下的 DP：

设 (f_{i,j}) 表示第 (i) 次滋水时，当前若处在 (j) 位置，可能受到的最小伤害。转移还是比较显然：

[f_{i,j}= egin{cases} min_{j-T_{i}+T_{i-1}le kle j+T_i-T_{i-1}}{f_{i-1,k}}+max{X_i-j,0}&D_i=0\ min_{j-T_{i}+T_{i-1}le kle j+T_i-T_{i-1}}{f_{i-1,k}}+max{j - X_i,0}&D_i=1\ end{cases} ]

两种情况只有 (max) 部分不同，这取决于滋水的方向。可以发现这个转移形式还是比较简单的，只有两种需要维护的操作——区间取 (min) 和全局叠加上一个分段函数。分段函数本身也很特别，是由一次函数和常函数拼接而成。

多手玩一下容易发现一个事实——如果将 (j) 看作自变量，那么 (f_i) 自己也是一个分段函数，并且其一定是由斜率为 (-infty,dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,dots,+infty) 的若干段一次函数拼起来的。这样的话我们就可以分斜率正负来维护这些一次函数之间的断点。当然，这样 (f_i) 看起来会像是一个巨大的下凸壳，因此我们就称斜率为负的部分为左侧凸壳，正的部分为右侧凸壳。下面，我们需要使用数据结构分别维护左右凸壳，并且用变量 (b) 维护斜率为 0 的部分的值。

首先处理取 (min) 操作。由于 (f_{i-1}) 是凸的，所以对于左侧凸壳，一定有 (f_{i-1,j}ge f_{i-1,j+1})，右侧对称；因此这个取 (min) 操作实际上是将左侧凸壳向左移动 (T_i-T_{i-1})，右侧凸壳向右移动 (T_{i}-T_{i-1})，中间斜率为 0 的部分就被拉宽了。整体平移容易操作，打标记就好。

这里 (D_i=0) 和 (D_i=1) 本质上是完全对称的，我们只需要讨论 (D_i=0) 的情况。这相当将 (f_i) 加上一个类似于 \_ 形状的东西，而 \_ 上的断点即为 (X_i)。我们姑且称 (g_j=max{X_i-j})。设右侧凸壳上最靠左的一个点的横坐标为 (r)，我们尝试维护 (f_i)：

• 在左侧凸壳中 (jle X_i) 的部分中，对于斜率为 (-k) 的段，它的斜率会变成 (-k-1)；由于我们维护的是 (f_i) 上的断点，因此在左侧直接插入 (X_i) 即可。
• 在右侧凸壳中 (jle X_i) 的部分中，对于斜率为 (-k) 的段，它的斜率会变成 (-k+1)。所以，如果 (g) 的叠加会影响到右侧凸壳，我们就需要更新 (b)，并且将 (r) 从右侧删除，在右侧加入 (X_i)。可以发现，此时 (r) 一定会在斜率为 0 的段上，因此我们只需要计算 (f_{i,r}) 的变化量即可更新 (b)，也即给 (b) 加上 (X_i-r)。

这样，每次修改需要做的事情有：

• 对左右凸壳分别打标记；
• 可能需要取出左凸壳的最右点和右凸壳的最左点；

因此可以使用堆来维护。

最后还需要注意，(f_0) 的形式与我们所维护的分段函数不太相同——我们认为，它除了 (f_{0,0}=0) 之外，其余位置都为 (+infty)。为了处理好这一点，我们可以先在左右凸壳中加入充分多个位于 0 的“断点”，那么除了 0 以外的位置就不会被计算到了。

小结：

1. 仍然是开头就开得不好。虽然这个 DP 没什么难度，但是现场没有很快地反应过来想到这个 DP，甚至可以说是“觉得它不太可能所以想都没有想就叉掉了”。这其实是比较糟糕的习惯，不能放弃任何可能的思路！
2. 注意维护分段函数的方法：有时候我们可以维护差分，有时候我们可以维护断点。

代码

#include <queue>
#include <cstdio>

#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )

typedef long long LL;

template <typename _T>
void read( _T &x )/*{{{*/
{
	x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
	while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = s == '-', s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
	if( f ) x = -x;
}/*}}}*/

template <typename _T>
void write( _T x )/*{{{*/
{
	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
	if( 9 < x ) write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}/*}}}*/

std :: priority_queue<LL> lef;
std :: priority_queue<LL, std :: vector<LL>, std :: greater<LL> > rig;

int N;

int main()
{
	freopen( "data.in", "r", stdin );
	rep( i, 1, 1e6 ) lef.push( 0 ), rig.push( 0 );
	read( N );
	int lst = 0, T, D, X;
	LL tagL = 0, tagR = 0, ans = 0;
	while( N -- )
	{
		read( T ), read( D ), read( X );
		int delt = T - lst; lst = T;
		tagL -= delt, tagR += delt;
		if( D == 0 ) lef.push( X - tagL );
		else rig.push( X - tagR );
		if( lef.empty() || rig.empty() || 
			lef.top() + tagL <= rig.top() + tagR ) continue;
		LL l = lef.top() + tagL; lef.pop();
		LL r = rig.top() + tagR; rig.pop();
		if( D == 0 ) ans += X - r;
	 	else ans += l - X;
		lef.push( r - tagL ), rig.push( l - tagR );
	}
	write( ans ), putchar( '
' );
	return 0;
}