同步带传动张紧轮位置估算

下图显示了张紧轮位于同步带外侧的一种应用情况。首先列写此时带的理论长度，用到的只是初中几何的知识，只不过加在一起比较繁琐。设大的同步带轮节圆半径为br，小同步带轮节圆半径为lr，张紧惰轮半径为ir，两同步带轮安装中心距为a，张紧轮到大同步带轮中心距离在两同步带轮中心连线方向上的投影为x，张紧轮中心到两同步带轮中心连线的垂直距离为y。

如图，由中心线和各切点将同步带分为8份，根据以上已知参数和圆的内外公切线知识分别求各段的长度L1~L8，再求和得同步带总长TL.为配合后面使用，写在Matlab自定义函数DLcal中，如下：

[DLcal.m]

function DL = DLcal(y)
global br lr ir a x IL
L1 = (pi/2 + asin((br-lr)/a))*br;
L2 = sqrt(a^2 -(br-lr)^2);
L3 = (pi/2 - asin((br-lr)/a))*lr;
L4 = (pi/2 + asin((lr+ir)/sqrt((a-x)^2+y^2)) - atan(y/(a-x)))*lr;
L5 = sqrt((a-x)^2 + y^2 - (lr+ir)^2);
L6 = (asin((br+ir)/sqrt(x^2+y^2))-atan(y/x)+asin((lr+ir)/sqrt((a-x)^2+y^2))-atan(y/(a-x)))*ir;
L7 = sqrt(x^2 + y^2 - (br+ir)^2);
L8 = (pi/2 + asin((br+ir)/sqrt(x^2+y^2)) - atan(y/x)) * br;
TL = L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8;
DL = TL - IL;

一般br,lr,ir,a参数根据实际情况选取，实际用的同步带长IL也是一系列离散的标准值，这时如给定x，即可根据上面的TL公式反求出y，从而得到张紧轮的理论位置。y的值可以利用Matlab的fsolve函数求得数值解，当TL=IL，即DL=0时就可得到y。由于y从0变化到理论值的过程中TL是单调递减的，y的初值可取为0.

下面举一个例子。假设要使用S2M型的高扭矩同步齿形带（齿距2mm），大小轮齿数比为60:30，在MiSUMi的网站上选择同步齿形带，皮带公称宽度取中间值6mm，齿数选择280，即同步带节线长为560mm，在选择小带轮齿数30及大带轮齿数60后，网页上会自动算出理论中心距234.81mm。若实际安装中心距取234mm，则需添加惰轮进行张紧。选择背面张紧型惰轮，在MiSUMi的目录页面可以看到当皮带宽度为6mm时，中心轴承型惰轮直径为25mm。再取x=200mm，即可利用Matlab求出理论y值。程序如下：

[example.m]

global br lr ir a x IL
br = 60/pi;
lr = 30/pi;
ir = 25/2;
a = 234;
x = 200;
IL = 560;
y = fsolve(@DLcal,0)

figure(1);
clf;
hold on;
axis equal
line([br*(br-lr)/a,a+lr*(br-lr)/a],[-br*sqrt(a^2-(br-lr)^2)/a,-lr*sqrt(a^2-(br-lr)^2)/a])
Ltheta = asin((br+ir)/sqrt(x^2+y^2))-atan(y/x);
line([br*sin(Ltheta),x-ir*sin(Ltheta)],[br*cos(Ltheta),y-ir*cos(Ltheta)])
Rtheta = asin((lr+ir)/sqrt((a-x)^2+y^2))-atan(y/(a-x));
line([a-lr*sin(Rtheta),x+ir*sin(Rtheta)],[lr*cos(Rtheta),y-ir*cos(Rtheta)]);
circle(0,0,br);
circle(a,0,lr);
circle(x,y,ir);

程序前半部分算出y，Command Window中输出结果为y=13.8913mm.后半部分绘图以便直观观察。

绘图中用到的画圆的circle函数如下：

[circle.m]

function circle(x0,y0,r)
alpha=0:0.01:2*pi;
x=x0+r*cos(alpha);
y=y0+r*sin(alpha);
figure(1);
plot(x,y,'r','LineWidth',1)

实际张紧轮位置调整装置可以以理论y值为参考进行设计，并预留向上的安装调整量和向下的张紧调整量。机械设计手册同步带传动中心距调整范围中推荐节线长Lp≤1000的圆弧齿传动外侧调整量为0.76mm（中心距增加量），以a=234.81+0.76，计算2*(L1+L2+L3)=561.5272，即相当于要使同步带伸长为这么多。将example.m中IL改为561.5272，再运行一遍，得到y=10.1698，即y的向下调整量至少要为(13.8913-10.1698)mm.

另外将example.m中的惰轮半径添加负号，也可得到张紧轮位于带内侧的情况。如下图：

张力调整装置参考：

张力调整器

张力惰轮用悬臂销