整除
定义
设(a,b in mathbb{Z}),且(b eq 0).如果存在(qinmathbb{Z})，使得(a=bq),则(b)整除a，记作(bmid a)，此时(b)为(a)的因数，(a)叫做(b)的倍数.
性质
1
(如果a mid b 且 bmid c),那么(cmid a)
证明 ： (设an=b, bm=c (n, m in mathbb{Z}).)
( herefore c/a = nm.)
( herefore cmid a.)
2
(如果amid b且amid c，有amid (bx+cy))
证明：
(设 as = b, at = c)
(s,tinmathbb{Z^+})
( herefore ast = c)
( herefore amid c)
3
(如果cmid a, cmid b，那么对于任意m, ninmathbb{Z},有cmid ma+mb).
证明
(如果m
eq 0,则amid b Leftrightarrow mbmid ma)
(ecause amid b)
( herefore 不妨设an=b)
( herefore anm = bm)
( herefore n*am = bm)
( herefore mbmid ma)
4
(如果ax+by=1，amid n, amid n. Rightarrow abmid n).
证明：
(设as=n=1, bt=n, s,tinmathbb{Z}且s, t
eq 0).
(ecause ax+by=1).
( herefore frac{x}{b} + frac{y}{a}).
(ecause abmid n)
( herefore frac{n}{ab}inmathbb{Z})
( herefore n imes frac{1}{ab})
(=frac{nx}{b}+frac{ny}{a})
(=tx+sy)
5
如果(b=d imes q + c,qinmathbb{Z})
(dmid c Leftrightarrow dmid b)
模运算
定义
对于整数(a,b (b eq 0)),求(a div b)的余数.记作(a) (mod) (b)((a\%b)).
性质
1.分配率
((a+b)\%c=(a\%c+b\%c)\%c)
((a-b)\%c=(a\%c-b\%c)\%c)
((a imes b)\%c=(a\%c imes b\%c)\%c)
((a^b)\%c=(a\%b)^b\%c)
统一证明:
设(ka+m_a=c, kb+m_b=c)
带入整理可得:
(Rightarrow(a+b)\%c=(m_a+m_b)%c)
(Rightarrow(a-b)\%c=(m_a-m_b)%c)
(Rightarrow(a*b)\%c=(m_a*m_b)%c)
而幂运算可与看做多个乘法运算
2.缩放性
2.1
(如果a\%b=c,d
eq 0)
(Rightarrow (ab)\%(bd)=cd)
证明:
设(a=bs+c)
(Rightarrow ad=(bs+c)d)
(Rightarrow ad=sbd+cd)
(Rightarrow (ab)\%(bd)=cd)
2.2
(如果a\%b=c,dmid a, dmid b)
(Rightarrow(a/d)\%(b/d)=(c/d).)
证明：
设(bs+c=a).
(frac{b}{d} imes s + frac{c}{d}=frac{a}{d})
2.3
(frac{a}{b}\%c=frac{a\%(bc)}{b})
证明：
两边同时乘(b)，可以得到：
(a\%(bc)=a\%(bc))