每日编程系列——暗黑的字符串

一、题目：

一个只包含'A'、'B'和'C'的字符串，如果存在某一段长度为3的连续子串中恰好'A'、'B'和'C'各有一个，那么这个字符串就是纯净的，否则这个字符串就是暗黑的。例如：

BAACAACCBAAA 连续子串"CBA"中包含了'A','B','C'各一个，所以是纯净的字符串
AABBCCAABB 不存在一个长度为3的连续子串包含'A','B','C',所以是暗黑的字符串
你的任务就是计算出长度为n的字符串(只包含'A'、'B'和'C')，有多少个是暗黑的字符串。 

输入描述:

输入一个整数n，表示字符串长度(1 ≤ n ≤ 30)

输出描述:

输出一个整数表示有多少个暗黑字符串

输入例子:

2
3

输出例子:

9
21
二、答案解析：
刚开始做这个题的时候，很容易跟着题意，一步步往下走，然后掉“坑”里边，既然要求暗黑字符串的的个数，顺着想下去，可以先求出长度的n的字符串总共有几种组合方式，当然是3^n中，然后我们对各种组合进行遍历，使用KMP算法进行字符串模式匹配，计算出纯净字符串的种数，最后由总个数减去纯净字符串的个数即可求得黑暗字符串的个数，这种做法的一个关键问题就是循环，而循环的层数就是n，试想当n足够大时，循环还能正常进行吗，当然不行了，很容易发生栈溢出的情况，导致整个算法失败。

换个思路想，其实我们可以采用动态规划的方法去解决问题，动态规划问题的关键在于推导公式（又叫状态转移公式），一般的推导公式如下：

M表示与过去相关的状态数，Ki表示对应状态的系数。
在本题中要求出长度为n的暗黑串个数，我们假设只与长度n-1的暗黑串有关，从前一个往后扩展一位，就需要从ABC中选一个进行扩展，而要保证暗黑串，必然要考虑n-1状态时，结尾两个字符的值，当然只有相同和不同两种情况，
有：f(n-1)=s(n-1)+d(n-1)(公式一)
1.如果结尾字符相同（用s(n-1)表示），那么要组成暗黑串，扩展位可以是ABC中的任意一种，即共有3*s(n-1)种；
2.如果结尾字符不同（用d(n-1)表示），那么要组成暗黑串，扩展位只可以是前两位的一种，一共有2*d(n-1)种；
得出公式：f(n)=3*s(n-1)+2*d(n-1)（公式二）,
根据公式一，有f(n)=2*f(n-1)+s(n-1)(公式三)，
再看第一种情形，在3*s(n-1)中只有一种是保证n状态时，结尾两个字符相同,比如n-1的状态是AA,那么只有扩展位为A时，满足条件;
再看第二种情形，在2*d(n-1)中只有一种是保证n状态时，结尾两个字符不同，比如n-1的状态时AB,那么只有扩展位为A时，满足条件 ；
即有s(n)=s(n-1)+d(n-1);(公式四)
最后由公式一、三、四可得，f(n)=2*f(n-1)+f(n-2),即为状态转移公式，算法如下：