数对数目（原题转自微信号待字闺中）

题目

给定两个数组X和Y，元素都是正数。请找出满足如下条件的数对的数目：

1. x^y > y^x，即x的y次方>y的x次方

2. x来自X数组，y来自Y数组

 

[思考5分钟~~~]

 

分析

 

假设数组X的长度为m，数组Y的长度为n，最直接的暴力法，时间复杂度为O(m*n)，但这样的话，并不需要都是正数这个条件的。那么，我们该如何优化呢？

x^y>y^x，对于x和y来讲，有什么规律呢？该如何发现呢？这里其实有规律的，大多数的条件下，当y>x的时候，x^y>y^x，但是有一些例外，1，2，3，4几个数，需要特殊的考虑，比如2^4=4^2。这个大家可以通过在纸上写写画画来得到，相对繁琐，我们就不进一步分析了。

我们可否对于原式做一些数学变换呢？使得式子变化简单。如何去做呢？这个式子的复杂体现在两边都是指数的形式，如何变化一下呢？我们很自然的就想到，逆运算对数运算，则，两边取对数可得：ylog(x)>xlog(y)。这里同学们可能要问，可以直接取对数么？取对数之后，大小关系仍旧满足么？这里是有两点保证的：

 

1. 对数函数的性质，单调递增

2. 题目中的说明：元素都是正数

 

对于式子:ylog(x)>xlog(y)，x和y都是正数，则进一步有：两边同时除以xy，则：log(x)/x >log(y)/y。这个式子，看起来也复杂，但是，x和y都在各自的一边，要简单的多。

对于log(x)/x >log(y)/y，

 

1. 数组X和Y分别计算log(x)/x,log(y)/y

2. 然后对Y进行排序O(nlogn)

3. 遍历X数组，对于每一个x，在Y中，进行二分查找，即可。

 

总的时间复杂度为O(nlogn + mlogn).

【分析完毕】