数论知识点总结

(1.gcd)（最大公约数）

对于给出的两个数(a,b)，我们可以用欧几里得算法来计算最大公约数。欧几里得算法的精髓就在于下面这个公式：
(gcd(a,b)=gcd(b,a)%(b))

证明：
已知：(gcd(a,b)|a)并且(gcd(a,b)|b),设(a)%(b=r),则(a=r+kb),故(r=a-kb),根据同余关系可得：(r)%(gcd(a,b)=0),因此(gcd(a,b)=gcd(b,a)%(b))

code：

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a
}

(2.exgcd)（扩展欧几里得算法）

扩展欧几里得算法是用于求解(ax+by=gcd(a,b))的一组解的算法。
根据欧几里得算法我们可知：(gcd(a,b)=gcd(b,a)%(b))
我们假设(x1,y1)是满足条件的一组解

那么(ax1+by1=gcd(a,b))

而(gcd(a,b)=gcd(b,a)%(b))

故(ax1+by1=bx2+a)%(by2)

而(a)%(b=a-a/bast b)

因而(ax1+by1=bx2+ay2-a/bast by2=ay2+b*(x2- a/bast y2))

那么我们就得到了一组合法的(x1,y1)的解：

(x1=y2,y1=x2-a/bast y2)

也就是我们递归下去即可。当(b=0)的时候我们就可以发现(x=1,y=0)是合法的

这是我们再返回(x=1,y=0)。最后就一直会回溯下去，得到我们的(x1,y1)

void exgcd(int a,int b){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b)
    int temp=x;
    x=y;y=temp-a/b*x;
}

但是如果要求(ax+by=gcd(a,b))的最小整数解的时候，我们就要对(x)批量的加上(b)的倍数，但是这不会影响最终的结果。

因为(ax+by+kab-kab=a(x+kb)+b*(y-ka))，这样依旧是合法的。

因此我们直接让(x=(x)%(b+b))%(b)即为最终的答案。

(3.)逆元

对于(a)和(m)，如果(axequiv1(modm)),那么称(x)是(a)在(m)下的逆元。

那么我们该怎么求解逆元呢？我们将逆元的等式转化一下:
(ax+my=1)

由于(ax+my=k)有解当且仅当(k)%(gcd(a,m)=0)的时候有解，说明(gcd(a,m)=1)

那么我们直接用扩展欧几里得求解即可。

int x,y;
void exgcd(int a,int b){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b)
    int temp=x;
    x=y;y=temp-a/b*x;
}
int inv(int a,int m){//a在m下的逆元
    exgcd(a,m);
    return (x%m+m)%m;
}

逆元一般是用在除法取模上面，如((a/b))%(m)即为(a)%(mast inv(b,m))

(4.)埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一个复杂度为(nlnnlnn)的筛法。
当选中一个数为素数的时候，就把以这个数为因子的数全部筛掉即可。

const int N=1e6+100;
vector<int> pr;
bool vis[N];
void seive(){
	vis[0]=vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=N-10;i++){
		if(!vis[i]){
			pr.push_back(i);
			for(int j=2*i;j<=N-10;j+=i) vis[j]=1;
		}
	}
} 

(5.)费马小定理

假设(a)是一个整数，(p)是一个质数，那么(a^p-a)是(p)的倍数

即(a^pequiv a(modp)),如果(a)不是(p)的倍数，这个定理也可以写成:

(a^{p-1}equiv1(modp))

(6.)线性同余方程求解

形如(axequiv b(modm))即为线性同余方程。
将线性同余方程变形后即可得到：

(ax+my=b)
只有当(b)%(gcd(a,m)=0)时该方程才有解。
我们先利用扩展欧几里得算法求出

(ax+my=gcd(a,m))的一组解((x0,y0)),那么(x=x0*(b/gcd(a,m)))%(m)
即为原方程的一组解。

(7.)欧拉函数

欧拉函数即为小于(n)的数中与(n)互质的数的个数
比如(varphi(8)=4)
欧拉函数的通式为:

(varphi(x)=x(1-frac{1}{p1})(1-frac{1}{p2})...(1-frac{1}{pn}))

其中(p1,p2,...pn)为(x)的质因数。