--update 又遇到这个问题,然后搜文章,竟然搜到自己的文章,呵呵~
Problem:求方阵A的值。
设求n*n的矩阵:加法的操作次数为P(n),乘法的操作次数与为M(n)。
对于方法1:
j1~jn共有n!种选法:j1有n种选法,j2有n-1种选法,…,jn有1种选法。
P(n)=n!-1
M(n)=n!*(n-1)
==2020.12.23
直接定义求:
乘法运算的数量:
(n-1)*n! [n!:所有排列情况;n-1:n个数的乘法]
对于方法2:
P(1)=0
P(2)=2
P(n)=(n-1)+n*P(n-1)=(n-1)+(n-2)+n*(n-1)*P(n-2)=…=(n-1)+(n-2)+…+2+n*(n-1)*…*3*P(2)
=(n+1)*(n-2)/2+n! (n>=3)
可以都写成P(n)= (n+1)*(n-2)/2+n!
M(1)=0
M(2)=2
M(n)=n+n*M(n-1)=n+(n-1)+n*(n-1)*M(n-2)=…=n+(n-1)+…+3+n*(n-1)*…*3*P(2)=
=(n+3)*(n-2)/2+n! (n>=3)
方法1相比方法2乘法操作次数多了大概(n-1)倍,是因为
如和,除了前面两个数,其它数的乘积都一样,但是方法1对于的乘积重复计算。
而方法2的乘法操作次数仍然很多,是因为如和,方法2对的乘积重复计算。
方法1通过全排列优化后:
序列从小到大排序,编号为1~n!。编号为(t+1)[t=1~n!-1]的序列,当最大能被r!整除时,需要修改的长度为r+1,寻找j需要r+1次,寻找k需要1,2,3,…,r次,然后a[j]和a[k]进行交换,a[n-r]~a[n]修改顺序,共进行(temp=x,x=y,y=temp)3*(1+(r+1)/2)次赋值语句操作。
当r=n,n-1,…,1时
total=n*1+(n-1)*[n-1]+(n-2)*[n*(n-1)-n]+(n-3)*[n*(n-1)*(n-2)-n*(n-1)]+…+
???
12345
12354
12435
12453
12534
12543
13245
方法3:
化简为上三角行列式
并对所有对角线的数进行相乘得到方阵的值。
对于每列i化简:从行i开始,往下找,直到第j行a[j][i]<>0,然后行i和行j进行交换(如果i<>j),然后行i+1~行n通过对行i加/减某个倍数,使得a[k][i]=0。每列i化简最多对(n-i)行进行了处理,时间复杂度为O(n*n)。
总的时间复杂度:O(n^3)
Code:
1.求方阵面积_n阶行列式的定义
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 //原来O(n!) 5 //优化: 6 //效率不高,但所用方法很巧妙 7 //n=10 10!=3628800 8 9 int main() 10 { 11 long n,i,j,k,p,g,temp,x,y,a[20]; 12 double mat[20][20],c[20],ans; 13 scanf("%ld",&n); 14 //posibility 15 p=1; 16 for (i=2;i<=n;i++) 17 p=p*i; 18 for (i=1;i<=n;i++) 19 for (j=1;j<=n;j++) 20 scanf("%lf",&mat[i][j]); 21 c[0]=1.0; 22 for (i=1;i<=n;i++) 23 { 24 a[i]=i; 25 c[i]=c[i-1]*mat[i][i]; 26 } 27 ans=c[n]; 28 g=0; 29 for (i=1;i<p;i++) 30 { 31 //4 8 7 6 5 3 2 1 32 //5 8 7 6 4 3 2 1 33 //5 1 2 3 4 6 7 8 34 35 //从尾到头,找到第一个下降的a[j] 36 for (j=n-1;j>=1;j--) 37 if (a[j]<a[j+1]) 38 break; 39 //a[j]:从尾到a[j],找到第一个比a[j]大的数a[k] 40 for (k=n;k>j;k--) 41 if (a[k]>a[j]) 42 break; 43 //交换a[j]和a[k]的值 44 temp=a[j]; 45 a[j]=a[k]; 46 a[k]=temp; 47 //数组:j+1~n reverse 48 x=j+1; 49 y=n; 50 while (x<y) 51 { 52 temp=a[x]; 53 a[x]=a[y]; 54 a[y]=temp; 55 x++; 56 y--; 57 } 58 //1~j-1:not change 59 for (k=j;k<=n;k++) 60 c[k]=c[k-1]*mat[k][a[k]]; 61 g=g-(n-j-1)*(n-j)/2+1; 62 //逆序对的数目跟上一次的差距 63 //原来j+1~n降序,a[j+1]~a[n]中逆序对的数目为(n-j-1)*(n-j)/2 64 //现在j+1~n升序,a[j]在a[j]~a[n]的大小排名上升了一位,即第j位所在的数的逆序对的个数增加了1 65 if (g%2==0) 66 ans+=c[n]; 67 else 68 ans-=c[n]; 69 } 70 if (fabs(ans)<0.000001) 71 printf("%.2lf",0.0); 72 else 73 printf("%.2lf",ans); 74 return 0; 75 } 76 /* 77 Input: 78 4 79 2 -1 0 3 80 -3 1 2 2 81 1 0 -2 -1 82 -4 3 2 2 83 Output: 84 24.00 85 86 Input: 87 3 88 1 2 3 89 2 3 4 90 3 4 5 91 Output: 92 0.00 93 94 Input: 95 2 96 1 2 97 2 1 98 Output: 99 -3.00 100 */
2.求方阵面积_化简为上三角行列式
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #define minv 0.000001 4 #define maxn 100 5 6 int main() 7 { 8 long n,i,j,k,l; 9 double s,result=1.0; 10 double **matrix=(double **) malloc (sizeof(double *)*(maxn+1)); 11 for (i=1;i<=maxn;i++) 12 matrix[i]=(double *) malloc (sizeof(double)*(maxn+1)); 13 scanf("%ld",&n); 14 for (i=1;i<=n;i++) 15 for (j=1;j<=n;j++) 16 scanf("%lf",&matrix[i][j]); 17 //使第i列的主元下方的值变为0 18 for (i=1;i<=n;i++) 19 { 20 j=i; 21 while (j<=n && fabs(matrix[j][i])<minv) 22 j++; 23 //最后化简的上三角行列式有一个数为0,则矩阵的值为0 24 if (j==n+1) 25 { 26 printf("0.00 "); 27 return 0; 28 } 29 //交换两行位置,值取反 30 if (i!=j) 31 { 32 result*=-1.0; 33 //第i行和第j行进行交换(交换第i~n列的数即可) 34 for (k=i;k<=n;k++) 35 { 36 s=matrix[i][k]; 37 matrix[i][k]=matrix[j][k]; 38 matrix[j][k]=s; 39 } 40 } 41 //对第j+1行~第n行进行处理(第i+1行到第j行a[][i]的值都为0) 42 //(第t行减去第i行的matrix[j][i]/matrix[i][i]倍,使matrix[j][i]=0) 43 for (k=j+1;k<=n;k++) 44 { 45 s=-matrix[k][i]/matrix[i][i]; 46 matrix[k][i]=0; 47 //(修改第i+1~n列的数即可) 48 for (l=i+1;l<=n;l++) 49 matrix[k][l]+=s*matrix[i][l]; 50 } 51 } 52 for (i=1;i<=n;i++) 53 result*=matrix[i][i]; 54 if (fabs(result)<0.000001) 55 printf("%.2lf",0.0); 56 else 57 printf("%.2lf",result); 58 59 return 0; 60 } 61 /* 62 Input: 63 4 64 2 -1 0 3 65 -3 1 2 2 66 1 0 -2 -1 67 -4 3 2 2 68 Output: 69 24.00 70 71 Input: 72 3 73 1 2 3 74 2 3 4 75 3 4 5 76 Output: 77 0.00 78 79 Input: 80 2 81 1 2 82 2 1 83 Output: 84 -3.00 85 */
3.行简化行列式
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <math.h> 4 #define maxn 100 5 #define minv 0.000001 6 7 int main() 8 { 9 long n,m,i,j,k,l,pos; 10 double s; 11 double matrix[100][100]; 12 // double **matrix=(double **) malloc (sizeof(double *)*(maxn+1)); 13 // for (i=1;i<=maxn;i++) 14 // matrix[i]=(double *) malloc (sizeof(double)*(maxn+1)); 15 scanf("%ld%ld",&n,&m); 16 for (i=1;i<=n;i++) 17 for (j=1;j<=m;j++) 18 scanf("%lf",&matrix[i][j]); 19 20 pos=1; 21 //使第i列的主元下方的值变为0 22 for (i=1;i<=m;i++) 23 { 24 j=pos; 25 //从第pos行开始 26 while (j<=n && fabs(matrix[j][i])<minv) 27 j++; 28 //从第pos行开始,第i列的值全为0,不用简化 29 if (j==n+1) 30 continue; 31 if (pos!=j) 32 //第pos行和第j行进行交换(交换第i~m列的数即可) 33 for (k=i;k<=m;k++) 34 { 35 s=matrix[pos][k]; 36 matrix[pos][k]=matrix[j][k]; 37 matrix[j][k]=s; 38 } 39 //对第pos+1行~第n行进行处理 40 //(第t行减去第pos行的matrix[j][i]/matrix[pos][i]倍,使matrix[j][i]=0) 41 for (j=pos+1;j<=n;j++) 42 { 43 s=-matrix[j][i]/matrix[pos][i]; 44 matrix[j][i]=0; 45 //(修改第i+1~m列的数即可) 46 for (k=i+1;k<=m;k++) 47 matrix[j][k]+=s*matrix[pos][k]; 48 } 49 //若从第pos行开始,第i列的值全为0,则从下一行开始 50 pos++; 51 } 52 53 printf(" "); 54 printf("行阶梯型矩阵: "); 55 for (i=1;i<=n;i++) 56 { 57 for (j=1;j<=m;j++) 58 if (fabs(matrix[i][j])<minv) 59 //左边的数5代表数输出5位,若位数不够则以空格填充 60 //右边的数2代表数保留2位小数 61 printf("%5.2lf ",0.0); 62 else 63 printf("%5.2lf ",matrix[i][j]); 64 printf(" "); 65 } 66 //第pos行~第n行的值全部为0,矩阵的秩为pos-1 67 //对第pos-1行~第1行的内容进行修改 68 for (i=pos-1;i>=1;i--) 69 { 70 for (j=1;j<=m;j++) 71 //(i,j)即该行的第一个非零数,为主元 72 if (fabs(matrix[i][j])>minv) 73 break; 74 s=matrix[i][j]; 75 //把主元的值变为1,该行的数都除以matrix[i][j] 76 for (k=j;k<=m;k++) 77 matrix[i][k]/=s; 78 //对第1行~第i-1行进行处理 79 for (k=1;k<i;k++) 80 { 81 s=-matrix[k][j]; 82 matrix[k][j]=0; 83 //(修改第j+1~m列的数即可) 84 for (l=j+1;l<=m;l++) 85 matrix[k][l]+=s*matrix[i][l]; 86 } 87 } 88 printf(" "); 89 printf("行简化阶梯型矩阵: "); 90 for (i=1;i<=n;i++) 91 { 92 for (j=1;j<=m;j++) 93 if (fabs(matrix[i][j])<minv) 94 //左边的数5代表数输出5位,若位数不够则以空格填充 95 //右边的数2代表数保留2位小数 96 printf("%5.2lf ",0.0); 97 else 98 printf("%5.2lf ",matrix[i][j]); 99 printf(" "); 100 } 101 return 0; 102 } 103 /* 104 Input1: 105 3 4 106 1 2 1 3 107 0 0 0 0 108 0 0 0 1 109 Output: 110 行阶梯型矩阵: 111 1.00 2.00 1.00 3.00 112 0.00 0.00 0.00 1.00 113 0.00 0.00 0.00 0.00 114 115 行简化阶梯型矩阵: 116 1.00 2.00 1.00 0.00 117 0.00 0.00 0.00 1.00 118 0.00 0.00 0.00 0.00 119 120 Input2: 121 3 4 122 0 1 -1 2 123 0 0 1 -1 124 0 0 2 1 125 Output: 126 行阶梯型矩阵: 127 0.00 1.00 -1.00 2.00 128 0.00 0.00 1.00 -1.00 129 0.00 0.00 0.00 3.00 130 131 行简化阶梯型矩阵: 132 0.00 1.00 0.00 0.00 133 0.00 0.00 1.00 0.00 134 0.00 0.00 0.00 1.00 135 136 Input3: 137 3 3 138 1 2 1 139 2 1 1 140 0 0 0 141 Output: 142 行阶梯型矩阵: 143 1.00 2.00 1.00 144 0.00 -3.00 -1.00 145 0.00 0.00 0.00 146 147 行简化阶梯型矩阵: 148 1.00 0.00 0.33 149 0.00 1.00 0.33 150 0.00 0.00 0.00 151 152 Input4: 153 5 6 154 1 2 0 3 2 5 155 -1 1 -3 3 4 7 156 0 -2 2 -4 1 -3 157 2 0 4 -2 0 -2 158 1 0 2 -1 1 0 159 Output: 160 行阶梯型矩阵: 161 1.00 2.00 0.00 3.00 2.00 5.00 162 0.00 3.00 -3.00 6.00 6.00 12.00 163 0.00 0.00 0.00 0.00 5.00 5.00 164 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 165 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 166 167 行简化阶梯型矩阵: 168 1.00 0.00 2.00 -1.00 0.00 -1.00 169 0.00 1.00 -1.00 2.00 0.00 2.00 170 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 171 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 172 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00*/