整除分块（数论分块）详解

整除分块（数论分块）

介绍

在求解问题

[sum_{i=1}^nlfloorfrac ni floor ]

时，若 (n) 的范围很大那么 (Theta(n)) 求解将会超时，我们需要一种更高效的方法来计算，整除分块就是这样一种方法

不难发现，在 (i) 取某些值的时候 (lfloorfrac ni floor) 的值都是相同的，考虑将 (lfloorfrac ni floor) 的值相同的 (i) 一起计算，减少计算次数

那么此时我们需要计算多少次呢？

当 (ilesqrt n) 时显然 (lfloorfrac ni floor) 的取值只有 (sqrt n) 种可能，而当 (i>sqrt n) 时有 (frac ni<sqrt n) ，所以 (lfloorfrac ni floor) 的取值同样只有 (sqrt n) 种可能，也就是说 (lfloorfrac ni floor) 的取值只有 (2sqrt n) 种可能，对于同样的取值只用计算一次，总的时间复杂度也就是 (Theta(sqrt n))

下面来说具体怎么做

画出 (lfloorfrac ni floor) 的图像不难发现，所有取值相同的 (i) 都是连续的整块的，这也是这个算法叫做整除分块的原因，对于每一块我们想要通过给出这一块的左端点，(Theta(1)) 计算出这一块的右端点，这样才能保证复杂度

假设现在我们的左端点是 (l)，那么设 (lfloorfrac nl floor=k)，我们要求右端点也就是最大的 (r=l+d) 使得 (lfloorfrac n{l+d} floor=lfloorfrac nl floor=k)

把 (lfloorfrac nl floor) 和 (lfloorfrac n{l+d} floor) 展开得 (n=kl+p) 和 (n=k(l+d)+p')，其中 (1le p<l)

那么 (kl+p=k(l+d)+p') 所以 (p'=p-kd)，因为 (p'ge0)，所以 (kdle p)，所以 (dlefrac pk)，又因为 (d) 为整数，所以 (d) 最大能取 (lfloorfrac pk floor)，其中 (p=nmod l=n-llfloorfrac nl floor)，(k=lfloorfrac nl floor)

所以我们有

[egin{align*} r&=l+d_max\ &=l+lfloorfrac pk floor\ &=l+lfloorfrac{n-llfloorfrac nl floor}{lfloorfrac nl floor} floor\ &=l+lfloorfrac n{lfloorfrac nl floor}-l floor\ &=lfloorfrac n{lfloorfrac nl floor} floor end{align*} ]

也就是说，对于每一个左端点为 (l) 的块，它的右端点为 (lfloorfrac n{lfloorfrac nl floor} floor)

求 (sumlimits_{i=1}^nlfloorfrac ni floor) 我们从左端点 (l) 为 (1) 开始枚举，每次右端点 (r) 取 (min(n,lfloorfrac n{lfloorfrac nl floor} floor))，将答案累加上 ((l-r+1)lfloorfrac nl floor)，然后令 (l=r+1) 不断循环，当右端点等于 (n) 时停止循环

练习

练习一

Luogu P3935 Calculating

题目大意

给定 (n) 求 (sumlimits_{i=1}^nd(i))，其中 (d(i)) 表示 (i) 的约数个数

题解

(1) 到 (n) 的约数显然只能也在 (1) 到 (n) 内，那么考虑换一种方式表达 (sumlimits_{i=1}^nd(i))，枚举 (1) 到 (n) 的所有数，看枚举的数属于多少个数的约数，假设当前枚举到数字 (k) 那么在 (1) 到 (n) 内 (k) 属于多少个数的约数，那么也就是在问在 (1) 到 (n) 内 (k) 的倍数有多少个，显然有 (lfloorfrac nk floor) 个，题目也就转换为了求解 (sumlimits_{i=1}^nlfloorfrac ni floor)，整除分块即可

练习二

P2261 [CQOI2007]余数求和

题目大意

给定 (n,k)，求 (sumlimits_{i=1}^nkmod i)

题解

(kmod i) 可以写作 (k-ilfloorfrac ki floor)，原式即变为 (sumlimits_{i=1}^nk-ilfloorfrac ki floor=kn-sumlimits_{i=1}^nilfloorfrac ki floor)，考虑对于 (sumlimits_{i=1}^nilfloorfrac ki floor) 使用整除分块，对于值相同的 (lfloorfrac ki floor)，利用等差数列求和公式算出 (i) 的区间和，再乘以 (lfloorfrac ki floor) 就可以 (Theta(1)) 累加进答案

再看整除分块时 (n,k) 的上界问题，当 (nge k) 时 (i>k) 的部分贡献均为 (0)，所以我们忽略 (n) 比 (k) 大的部分，直接以 (k) 为上界计算 (sumlimits_{i=1}^klfloorfrac ki floor) 即可；当 (n<k) 时每次右端点变为 (min(n,lfloorfrac k{lfloorfrac kl floor} floor))，右端点到 (n) 时停止

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