HDU 4370 0 or 1(最短路+最小环判断)

0 or 1

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Problem Description

Given a n*n matrix C_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X_ij meets the following conditions:

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X₁₂+X₁₃+X₁₄=1
X₁₄+X₂₄+X₃₄=1
X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄
X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Hint

For sample, X₁₂=X₂₄=1,all other X_ij is 0.

 

Input

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C_ij(0<=C_ij<=100000).

 

Output

For each case, output the minimum of ∑C_ij*X_ij you can get.

 

Sample Input

4

1 2 4 10

2 0 1 1

2 2 0 5

6 3 1 2

 

Sample Output

3

 

Author

Snow_storm

 

Source

2012 Multi-University Training Contest 8

 

题意：给定一个矩阵Aij，要找到一个0—1矩阵Bij使得∑Aij*Bij的值最小。

对于0—1矩阵的要求：

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

分析：贴官方题解

1001  (已更新)

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)

#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#define LL __int64
using namespace std;
const int MAXN=300+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int w[MAXN][MAXN];
int d[MAXN];
int inq[MAXN];
int n;
queue<int> Q;

int spfa(int st,int en)
{
    int ORZ=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=INF;
    d[st]=0;
    Q.push(st);
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.front();Q.pop();
        inq[u]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(d[u]+w[u][i]<d[i])
            {
                d[i]=d[u]+w[u][i];
                if(!inq[i]) {inq[i]=1;Q.push(i);}
            }
        }
        if(ORZ) d[st]=INF,ORZ=0;
    }
    return d[en];
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(w,0,sizeof(w));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&w[i][j]);
        int ans=spfa(1,n);
        int res1=spfa(1,1);
        int res2=spfa(n,n);
        printf("%d
",min(ans,res1+res2));
    }
    return 0;
}