【LeetCode】面试题14-1. 剪绳子

题目:

思路:

1、如果m是确定值，则这m段越平均它们的乘积越大(数学直觉)。所以遍历所有的M(最小2段，最大n段)，计算当前m下的最大值，然后对比得到所有M下的最大值。
2、不需要遍历所有的M，根据如下两条数学推论直接计算最大值

• 将绳子以相等的长度等分为多段，得到的乘积最大。
• 尽可能将绳子以长度3等分为多段时，乘积最大。
  • 当n<=3时，按照规则不切分。但题目要求必须切分(m>1)，所以返回n-1
  • 当n>3时，求n除以3的整数部分a和余数b(n=3a+b)，则

    • b=0，直接返回3^a

    • b=1，乘以1和没乘一样，所以将一个3拿出来和1一起分成两个2，返回4x3^(a-1)

    • b=2，返回2x3^a

3、动态规划，对长度为n的绳子进行切割，可以划分成子问题(最优子结构、无后向性、重叠子问题)。递归函数为F(n)=max(i x (n-i), i x F(n-i)), i=1, 2, ..., n-2

代码:

Python

import math
class Solution(object):
    def cuttingRope(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        # # 暴力搜索M切分段数，对每次切分尽量平分
        # res = 0
        # for i in range(2, n+1):
        #     a = n // i
        #     b = n % i
        #     tmp = math.pow(a, i - b) * math.pow(a + 1, b)
        #     if tmp > res:
        #         res = int(tmp)
        # return res
        
        # # 尽量平分，使得每段长度为3
        # if n <= 3:
        #     return n - 1
        # a = n // 3
        # b = n % 3
        # if b == 0:
        #     return int(math.pow(3, a))
        # if b == 1:
        #     return 4 * int(math.pow(3, a - 1))
        # if b == 2:
        #     return 2 * int(math.pow(3, a))

        # 动态规划
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]
        dp[1] = 1
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):  # 当前绳子长度为i
            for j in range(1, i):  # 第一刀切分长度
                dp[i] = max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j])
        return dp[n]

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