二维前缀和之最大的和

参考《算法竞赛进阶指南》p46 To The Max

参考链接：https://www.acwing.com/problem/content/description/128/

　　　　   https://www.cnblogs.com/GodA/p/5237061.html

　　　　   https://blog.csdn.net/yzyyylx/article/details/78298318

 黑色方块=D-B-C-A；

class NumMatrix {
public:
    int preSum[10005][100005];

    NumMatrix(vector<vector<int>> &matrix) {
    // 设定一个辅助数组记录 (0,0) 到 (row,col) 子矩阵的元素之和
    // 为了简化代码，辅助数组的长度设置为 (matrix.length + 1)  * (matrix[0].length + 1)
    // 第一行和第一列不放数据

    // (0,0) 到 (i,j) 子矩阵的元素和
    // preSum[i+1][j+1] = matrix[i][j] + preSum[i][j+1] + preSum[i+1][j] - preSum[i][j]
        for (int i = 0; i < matrix.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].size(); j++) {
                preSum[i + 1][j + 1] = matrix[i][j] + preSum[i][j + 1] + preSum[i + 1][j] - preSum[i][j];
            }
        }

    }

    int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return preSum[row2+1][col2+1] - preSum[row2+1][col1] - preSum[row1][col2+1] + preSum[row1][col1];
    }
};

　　

在一个二维矩阵中求前缀和，可以快速的计算出子矩阵中的和。首先预处理处以所有点为右下角,(1,1)为左上角的矩阵中的元素和. 
接着(x1,y1)为右下角,(x2,y2)为左上角的矩形中的元素和为f[x1][y1]+f[x2-1][y2-1]-f[x1][y2-1]-f[x2-1][y1].

如上矩阵中。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXM 3010
#define MAXN 3010
using namespace std;

int m,n,a[MAXM][MAXN],jx[MAXM][MAXN],x,y,u,v;

int main()
{
    int i,j;
    cin>>m>>n;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }

    //预处理: 
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            jx[i][j]=a[i][j]+jx[i-1][j]+jx[i][j-1]-jx[i-1][j-1];
        }
    }

    while(~scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&x,&y))
    {
        printf("%d
",jx[u][v]+jx[x-1][y-1]-jx[u][y-1]-jx[x-1][v]);
    }
}

/*

5 5

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

1 1

0 0

1

2 2

1 1

16

4 4

3 3

64

 */

---

　

输入右下角和左上角的值就能够算出子矩阵的和

题目大意：就是输入一个N*N的矩阵，找出在矩阵中，所有元素加起来之和最大的子矩阵。

　　例如在    0 -2 -7 0　这样一个4*4的矩阵中，元素之和最大的子矩阵为   9 2　 ，它们之和为15。　

　　　　　　 9  2 -6 2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-4 1
　　　　　　-4 1 -4 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -1 8
　　　　　　-1 8 0 -2

　　这是一个最大子矩阵问题，我们怎么来解决这个问题呢？任何问题都会有它的简化的问题，这是二维的数组，与之对应的，我们可以先尝试一下一维数组。

　　如果有一个一维数组a[n]，如何找出连续的一段，使其元素之和最大呢？

　　例如有 1 2 -3 4 -2 5 -3 -1 7 4 -6 这样一个数组，那么显然 4 -2 5 -3 -1 7 4 这个子数组元素之和最大，为4+(-2)+5+(-3)+(-3)+7+4=14。为找到一维数组的最大子数组，我们可以有以下方法。

动态规划：我们来分析一下最优子结构，若想找到n个数的最大子段和，那么要找到n-1个数的最大子段和，这就出来了。我们用b[i]来表示a[0]...a[i]的最大子段和，b[i]无非有两种情况：

(1)最大子段一直连续到a[i] 　

(2)以a[i]为首的新的子段。

由此我们可以得到b[i]的状态转移方程：b[i]=max{b[i-1]+a[i],a[i]}。最终我们得到的最大子段和为max{b[i], 0<=i<n}， 算法如下：

int MaxSubArray(int a[],int n)
{
    int i,b = 0,sum = 0;
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        if(b>0)                // 若a[i]+b[i-1]会减小
            b += a[i];        // 则以a[i]为首另起一个子段
        else    
            b = a[i];
        if(b > sum)    
            sum = b;
    }
    return sum;
}

回到最大子矩阵问题，我们固定矩阵的左右边界，利用二维前缀和很容易求出夹在左右边界的小矩阵的值。代码如下;

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXM 3010
#define MAXN 3010
using namespace std;

int m,n,a[MAXM][MAXN],jx[MAXM][MAXN];

int main()
{
    int i,j;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }

    //预处理:
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            jx[i][j]=a[i][j]+jx[i-1][j]+jx[i][j-1]-jx[i-1][j-1];
        }
    }

    int res=-10000;
    for (int i = 1; i <=n; ++i) {
        for (int j = i; j <=n; ++j) {
            int last=0;
            for (int k = 0; k < n; ++k) {
                if(last>0)
                    last+=jx[j][k]+jx[i-1][k-1]-jx[j][k-1]-jx[i-1][k];
                else
                    last=jx[j][k]+jx[i-1][k-1]-jx[j][k-1]-jx[i-1][k];
               // last=max(last,0)+jx[j][k]+jx[i-1][k-1]-jx[j][k-1]-jx[i-1][k];
                res=max(last,res);
            }

        }
    }
    cout<<res;
}