线性代数.21特征值和特征向量

这节课将讲解课程中很大的主题，还是对方阵而言，讨论特征值和特征向量，下一节课讲解应用。

特征向量与特征值

给定矩阵 (A)

矩阵作用在向量上，矩阵 (A) 的作用就像输入向量 (x) ,结果得到向量 (Ax)。就像一个函数，微积分中的函数表示作用在数字 (x) 上得到 (f(x)) ，矩阵就是一种变换。

在这些 (x) 向量中，我们比较感兴趣的是变换前后还与原来互相平行的向量，多数向量而言，(Ax) 是不同方向的，有特定的向量能使得 (Ax) 平行于 (x) 。这些 (x) 就是 特征向量。

(x) 只经行了缩放变换，方向并没有改变。

[Ax=lambda x ]

其中，(lambda) 是所成系数，可以是负值或零。负值表示变换前后方向相反。这个值就是 特征值。

零特征值，表示 (Ax=0x) ,(x) 是零空间里面的向量。如果 (A) 是奇异矩阵，说明把她作用到非零向量 (x) 后得到 0

零向量可以取任意方向，和任意向量平行。

前面也提过，零向量垂直于任意向量，因为零向量点乘任何向量都为零。

注意，(x) 非零。

例子

在引入行列式求解特征向量和特征值之前，我们先看看已学矩阵的特征向量和特征值是什么。

例子1

假设给定某个平面，将向量 (b) 通过投影矩阵 (P) 投影到平面上。投影矩阵的特征向量和特征值分别是什么？

1. 当 (b) 是平面上任意向量时，投影的结果还是 (x) 。

[Px=x ]

(P) 是变换矩阵，此时 (x) 是特征向量，特征值 (lambda=1)。

2. 垂直于平面的向量（零空间）是特征向量，特征值 (lambda=0)
   [Px=0 ]

例子2

假设有 (2*2) 置换矩阵

[A=left( egin{array}{cc} 0 & 1 \ 1 & 0 \ end{array} ight) ]

我们可以求出她的两个特征向量和特征值

[x_1=left( egin{array}{c} 1 \ 1 \ end{array} ight), ext{Ax}=left( egin{array}{c} 1 \ 1 \ end{array} ight),lambda=1 ]

[x_1=left( egin{array}{c} -1 \ 1 \ end{array} ight), ext{Ax}=left( egin{array}{c} 1 \ -1 \ end{array} ight),lambda=-1 ]

特征值的性质

1. (n*n) 矩阵有 (n) 个特征值

2. 特征值的和等于对角线的元素和，这个和数叫做"迹（trace）"。

[lambda's=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn} ]

在 (2*2) 例子中，一旦找到了一个特征值 ,就可以找到另一个特征值.

3. 特征值之积等于行列式

求解 (Ax=lambda x)

怎么求解特征值和特征向量，此时方程有两个未知量？

将右侧向量移到左边：

[(A-lambda I)x=0 ]

对于非零 (x) ,相乘以后等于0，我们可以知道 ((A-lambda I)) 不可逆，是奇异的。可得

[|A-lambda I|=0 ]

这个只含有 (lambda) 方程叫做特征（值）方程。

思路是先解出 (lambda) 。(lambda) 可能不只一个，而是 (n) 个。

解出 (lambda) 之后，取出一个 (lambda) 代入，利用消元法求解零空间基向量的方法，就可以求解出 (x) 。

例子1

[A=left( egin{array}{cc} 3 & 1 \ 1 & 3 \ end{array} ight) ]

给定矩阵 (A) ，计算特征值和特征向量。

[egin{align} |A-lambda I|= left| egin{array}{cc} 3-lambda & 1 \ 1 & 3-lambda \ end{array} ight|=(3-lambda)^2-1= 0\ end{align} ]

解得 (lambda_1=2) , (lambda_2=4) .

当 (lambda_1=4) 时，

[A-4I=left( egin{array}{cc} -1 & 1 \ 1 & -1 \ end{array} ight) ]

该矩阵零空间基向量为

[x_1=left( egin{array}{c} 1 \ 1 \ end{array} ight) ]

当 (lambda_2=2) 时，

[A-2I=left( egin{array}{cc} 1 & 1 \ 1 & 1 \ end{array} ight) ]

该矩阵零空间基向量为

[x_1=left( egin{array}{c} -1 \ 1 \ end{array} ight) ]

对比给定矩阵 (left( egin{array}{cc} 0 & 1 \ 1 & 0 \ end{array} ight))和 (left( egin{array}{cc} 3 & 1 \ 1 & 3 \ end{array} ight)) .

会发现，

如果已知 (A=left( egin{array}{cc} 0 & 1 \ 1 & 0 \ end{array} ight)) ，$Ax=lambda x $ ,已知此时 (A) 的特征值和特征向量。

那么对于(A’=left( egin{array}{cc} 3 & 1 \ 1 & 3 \ end{array} ight)) ， $(A+3I)x=Ax+3x=(lambda+3) x $

矩阵 (A) 加上 (3I) ，特征值加3，特征向量不变。 特征向量 (x) 是两个矩阵共同的特征向量。

注意：

如果知道 (B) 的特征值 (alpha)，(B≠I) ，已知 $Ax=lambda x $ ，是否可以 通过(Bx=alpha x)，知道 (A+B) 的特征值呢？

即 ((A+B)x=(lambda+alpha)x) ?

不行，因为没有理由 (B) 的特征向量就是 (x) .。新矩阵 (A+B) 的特征值不等于 ((lambda+alpha))

例子2

假设一个 (2*2) 正交矩阵

[Q=left( egin{array}{cc} 0 & -1 \ 1 & 0 \ end{array} ight) ]

我们知道 迹 (trace=lambda_1+lambda_2=0) ，行列式为 (detQ=lambda_1*lambda_2=-1)

计算

[det(Q-lambda I)=left( egin{array}{cc} -lambda & -1 \ -1 & -lambda \ end{array} ight)=lambda^2+1=0 ]

解得

[lambda_1=i,lambda_2=-i ]

两个特征值是虚数。且互为共轭。

复数将在这里正是进入这门课。实矩阵的特征值是有可能是复数的。

如果矩阵是对称，就不会存在复数特征值，特征值是实数。

如果越不对称，比如上例，(Q^T) 和 (Q) 是反对阵，(Q^T=-Q),而对称矩阵性质告诉我们，对称矩阵的转置还是原矩阵，该例子与对称性质完全相反，这种矩阵的特征值是纯虚数。这时极端情况。

中间则是介于对称和反对称之间的矩阵，部分对称，部分反对称。

例子3

给定矩阵 (A)

[A=left( egin{array}{cc} 3 & 1 \ 0 & 3 \ end{array} ight) ]

求这个矩阵的特征向量和特征值。

[det(A-lambda I)=left| egin{array}{cc} 3-lambda & 1 \ 0 & 3-lambda \ end{array} ight|=(3-lambda)(3-lambda) ]

解得

[lambda_1=3，lambda_2=3 ]

将 (lambda) 代入，

[(A-lambda) x=left( egin{array}{cc} 0 & 1 \ 0 & 0 \ end{array} ight)x=0 ]

计算零空间基向量

[x_1=left( egin{array}{c} 1 \ 0 \ end{array} ight),x_2=nothing ]

(2*2) 矩阵，只有一个无关的特征向量。