[APIO2010]特别行动队

 [APIO2010]特别行动队

2017-09-10

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题目描述

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如(i, i + 1, ..., i + k)(i,i+1,...,i+k)的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 x = x_i + x_{i+1} + ... + x_{i+k}x=x​i​​+x​i+1​​+...+x​i+k​​。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 x'：x' = ax2 + bx + c，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4x​1​​=2,x​2​​=2,x​3​​=3,x​4​​=4。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

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输入输出格式

输入格式：

输入由三行组成。第一行包含一个整数 n，表示士兵的总数。第二行包含三 个整数 a, b, c，经验公式中各项的系数。第三行包含 n 个用空格分隔的整数 x_1, x_2, …, x_n，分别表示编号为 1, 2, …, n 的士兵的初始战斗力。

输出格式：

输出一个整数，表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。　　　　　　　　

特别小豆队>>>

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输入输出样例

INPUT

4 

-1 10 -20

2 2 3 4 

OUT

(int)⑨

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说明

20%的数据中，n ≤ 1000；

50%的数据中，n ≤ 10,000；

100%的数据中，1 ≤ n ≤ 1,000,000，–5 ≤ a ≤ –1，|b| ≤ 10,000,000，|c| ≤ 10,000,000，1 ≤ xi ≤ 100

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我有很快的斜率优化式子hhh,

最后是这个(F[j]-F[k])+A*(sum[j]^2-sum[k]^2)+B*(sum[k]-sum[j]) /A/(sum[j]-sum[k]) < 2*sum[i]　　(j>k&&j比k优)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long 
#define Ld double 
const int maxn=1000000+9999;
using namespace std;
int read(){
    int an=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!('0'<=ch&&ch<='9')){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while('0'<=ch&&ch<='9'){an=an*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return an*f;
}
int q[maxn],a[maxn],sum[maxn];
ll dp[maxn];
int A,B,C,l,r,n;
ll sq(ll x){return x*x;}
Ld judge(int k,int j){
    return 
(Ld)((dp[j]-dp[k])+A*(sq(sum[j])-sq(sum[k]))+B*(sum[k]-sum[j]))/A/(sum[j]-sum[k]);
}
int main(){
    n=read();
    A=read();B=read();C=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while((l<r)&&judge(q[l],q[l+1])<2.0*sum[i])l++;
        int z=q[l];
        dp[i]=dp[z]+A*sq(sum[i]-sum[z])+B*(sum[i]-sum[z])+C;
        while(l<r&&judge(i,q[r])<judge(i,q[r-1]))r--;
        r++;q[r]=i;
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}

by:s_a_b_e_r

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U盘里至今没删的东西

a[i]是前i项和 
在j>k的情况下 j比k优
A*(a[i]-a[j])^2+B*(a[i]-a[j])+C>A*(a[i]-a[k])^2+B*(a[i]-a[k])+C
A*{(a[i]-a[j])^2-(a[i]-a[k])^2}+B*{(a[i]-a[j])-(a[i]-a[k])}>0

{A*{a[j]^2-a[k]^2}-B*{a[j]-a[k]}}/(2*A*(a[j]-a[k]))<a[i]

s酱第一次写斜率优化的时候推的式子w

n^2dp很好写的说……然而只有50分

加一口斜率优化就可以了

不知道斜率优化的可以去看玩具装箱那道题w

#include<iostream>
#include<cstdio> 
using namespace std;
const int N=1000009;
int n,l=1,r=1,q[N];
double a,b,c,x[N],sum[N],f[N];
double judge(int k,int j)
{return (double)(f[j]-f[k]+a*(sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k])+b*(sum[k]-sum[j])) / (2*a*(sum[j]-sum[k]));} 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    cin>>a>>b>>c;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
      cin>>x[i];
      sum[i]=sum[i-1]+x[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
      while(l<r&&judge(q[l],q[l+1])<=1.0*sum[i])++l;//维护队头  
      f[i]=f[q[l]]+a*(sum[i]-sum[q[l]])*(sum[i]-sum[q[l]])+b*(sum[i]-sum[q[l]])+c;
      while(l<r&&judge(i,q[r])<=judge(i,q[r-1]))--r;//维护队尾 
      q[++r]=i;
    }
    cout<<(long long)(f[n])<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

by:wypx

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s:特别小豆队√

w:这个队真的有战斗力嘛w