• BZOJ3812: 主旋律


    传送门

    Sol

    考虑容斥
    强联通图反过来就是一些缩点后的 (DAG)
    一个套路就是对出(入)度为 (0) 的点进行容斥
    (g_S,h_S) 分别表示选了奇数个 (0) 入度和偶数个的,集合为 (S) 的方案数
    那么通过钦定一个特殊的点 (u)

    [g_S=sum_{Tsubset S,u in T}f_Th_{S-T} ]

    [h_S=sum_{Tsubset S,u in T}f_Tg_{S-T} ]

    那么考虑容斥求出 (f),由于 (g_S) 包含 (f_S),而且 (f_S) 合法,所以容斥的时候 (g_S) 不能包括 (f_S)
    那么

    [f_S=2^{|E_{{S}}|}+sum_{Tsubset S,T e S}(h_T-g_T)2^{E_{{S-T}}+E{_{{T}->{S-T}}}} ]

    这里的 (g_S) 不包括 (f_S)(E) 表示边集,({S}->{T}) 即集合 (S)(T) 的边

    可以通过把子集弄出来做优化到 (Theta(3^n))
    不过我没有写QwQ

    # include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    
    const int mod(1e9 + 7);
    
    int n, m, f[1 << 15], g[1 << 15], h[1 << 15], cnt[1 << 15], to[20], e[1 << 15], pw[300];
    
    inline void Inc(int &x, int y) {
    	if ((x += y) >= mod) x -= mod;
    }
    
    int main() {
    	register int i, a, b, t, s, j;
    	scanf("%d%d", &n, &m), t = 1 << n;
    	for (i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d", &a, &b), --a, --b, to[a] |= 1 << b;
    	for (i = 1; i < t; ++i) cnt[i] = cnt[i >> 1] + (i & 1);
    	for (pw[0] = i = 1; i <= m; ++i) {
    		pw[i] = pw[i - 1] << 1;
    		if (pw[i] >= mod) pw[i] -= mod;
    	}
    	for (i = 0; i < t; ++i)
    		for (j = 0; j < n; ++j) if (i >> j & 1) e[i] += cnt[to[j] & i];
    	for (i = 0; i < n; ++i) f[1 << i] = g[1 << i] = 1;
    	for (i = 1; i < t; ++i)
    		if (cnt[i] > 1) {
    			f[i] = pw[e[i]];
    			for (a = 0; a < n; ++a) if (i >> a & 1) break;
    			for (j = (i - 1) & i; j; j = (j - 1) & i) {
    				for (s = b = 0; b < n; ++b) if (i >> b & 1) s += cnt[to[b] & (i ^ j)];
    				Inc(f[i], 1LL * (h[j] - g[j] + mod) * pw[s] % mod);
    				if (j >> a & 1) {
    					Inc(g[i], 1LL * f[j] * h[i ^ j] % mod);
    					Inc(h[i], 1LL * f[j] * g[i ^ j] % mod);
    				}
    			}
    			Inc(f[i], (h[i] - g[i] + mod) % mod), Inc(g[i], f[i]);
    		}
    	printf("%d
    ", f[t - 1]);
    	return 0;
    }
    
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