Link
首先给出一个模型：赌徒输光问题。
赌徒输光问题就是一个带吸收壁的随机游走问题，设(f(a,b,p))表示初始位置为(a)，向右走的概率为(p)，向左走的概率为(1-p)，在没到过(0)的情况下到(a+b)的概率。
设(g_i=f(i,a+b-i,p))，显然有(g_0=0,g_{a+b}=1,g_i=pg_{i+1}+(1-p)g_{i-1})。
推一推可以得到(g_{i+1}-g_i=frac{1-p}p(g_i-g_{i-1}))，那么(g_n=g_1frac{1-(frac{1-p}p)^n}{1-frac{1-p}p})。
代入(g_{a+b}=1)即可解出(g_1)，这样我们就解决了计算(f)的问题。
那么原问题的答案就可以通过枚举是从左边还是右边传到(k)得出计算式(f(n-k-1,k-1,p)f(1,n-2,1-p)+f(k-1,n-k-1,1-p)f(1,n-2,p))。
#include<bits/stdc++.h>
typedef long double ld;
class CatsOnTheCircle
{
ld f(int a,int b,ld p)
{
if(fabs(p-0.5)<1e-8) return 1.0*a/(a+b);
if(p<0.5+1e-8) return 1-f(b,a,1-p);
return (1-powl((1-p)/p,a))/(1-powl((1-p)/p,a+b));
}
public:
double getProb(int n,int k,int p)
{
ld q=p/1000000000.0;
return f(n-k-1,k-1,q)*f(1,n-2,1-q)+f(k-1,n-k-1,1-q)*f(1,n-2,q);
}
};