BZOJ1833 [ZJOI2010] count

【问题描述】

给定两个正整数a和b，求在[a,b]中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

【输入格式】

输入文件中仅包含一行两个整数a、b，含义如上所述。

【输出格式】

输出文件中包含一行10个整数，分别表示0-9在[a,b]中出现了多少次。

【输入样例】

      1 99

【输出样例】

      9 20 20 20 20 20 20 20 20 20

【数据范围】

30%的数据中，a<=b<=10^6；
100%的数据中，a<=b<=10^12。

正解：数位DP

解题报告：

只要想清楚就很简单，首先问题肯定是把区间1-b和区间1-（a-1）出现的数码统计出来，相减输出来；暴力一个一个数的统计肯定是会超时的，我们先不管前导0，然后我们把数字分为n位，前n位出现的所有数码次数可以看出全是一样的，f[i]表示前i位出现的数码次数,f[i]=f[i-1]*10+10^(i-1);接下来，如果仍然允许前导0，但将数的上限考虑进来的话，我们只需要从高位向低位计算。设当前为第i位，数字的这一位的数字为k，那么对于那些这一位数字小于 k的数，他们的前i-1位是没有数的大小上限的，每个数字累加k*f(i-1)即可，同时0~k-1的数累加10^(i-1)；而对于那些这一位的数字恰 好为k的数，为了不超过上限，应累加前i-1位的数字形成的数+1（全为0）; 最后，我们来想一下如何处理不允许前导0的情况，其实我们可以一位一位算，因为前n-1位没有上限，第i位可以直接通过f[i-1]*9算出，再把1-9加上10^(i-1),这样即可保证没算包括前导0的情况。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

ll f[20],l[10],r[10];

void solve(ll *x,ll s){
    if (!s) return;
    ll k=s,m;RG int w=0,i,j,sum[15];
    while(k) sum[++w]=k%10,k/=10;
    for (m=1,i=1; i<w; i++){
        x[0]+=f[i-1]*9;
        for (j=1; j<=9; j++) x[j]+=f[i-1]*9+m;
        m*=10;
    }
    k=s-sum[w]*m;
    for (i=1; i<sum[w]; i++) x[i]+=m;
    for (i=0; i<=9; i++) x[i]+=f[w-1]*(sum[w]-1);
    x[sum[w]]+=k+1;
    for (i=w-1; i; i--){
        m/=10,k-=sum[i]*m;
        for (j=0; j<sum[i]; j++) x[j]+=m;
        for (j=0; j<=9; j++) x[j]+=f[i-1]*sum[i];
        x[sum[i]]+=k+1;
    }
    return;
}

int main(){
    freopen("input.txt","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
    ll a,b,s;RG int i;
    f[1]=1;s=10;
    for (i=2; i<=15; i++) f[i]=f[i-1]*10+s,s*=10;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    for (i=0; i<10; i++) l[i]=r[i]=0;
    solve(l,a-1),solve(r,b);
    printf("%lld",r[0]-l[0]);
    for (i=1; i<=9; i++) printf(" %lld",r[i]-l[i]);
    printf("
");
    return 0;
}