之前写的太烂了，重新写一个
这个名字怎么来的啊
以斐波那契数列({f_n})为例
[egin{aligned}
f_i &= f_{i - 1} + f_{i - 2}\
f_1 &= 1, f_2 = 1
end{aligned}
]
"线性"表示没有平方项，"常系数"表示没有系数是变量
"齐次"表示没有常数项
应该是这样的
问题引入
1
求(f_n;mathrm{mod};10^9 + 7, n leq 2^{30})
这应该是最简单的了，直接矩阵快速幂
2
van了，这怎么做啊啊啊
(mathrm{OGF:})我来啦！！！
普通型生成函数自觉起座，秒了此题
设这个数列的生成函数为(G(x))
由递推式：
[egin{aligned}
G(x) &= 233xG(x) + 666x^2G(x) + x \
herefore G(x) &= frac{x}{1 - 233x - 666x^2} \
&= frac{x}{-666(x_1-x)(x_2-x)} \
&= frac{x}{-666(x_1-x_2)} imesleft(frac{1}{x_1-x}-frac{1}{x_2 - x}
ight)\
&= cdots
end{aligned}
]
不想写了，看这个吧
好麻烦啊，怎么办啊
特征方程站了起来：
(a_n=233a_{n-1}+666a_{n-2})的特征方程为
[x^2=233x+666 \ x^2-233x+666=0 \ x_1=frac{233+sqrt{56953}}2,x_2=frac{233-sqrt{56953}}2 \ herefore a_n=alpha x_1^n+eta x_2^n \ ecause a_0=0,a_1=1 \ herefore egin{cases} alpha+eta=0 \ alpha x_1+eta x_2=1 end{cases} \ herefore egin{cases} alpha=frac1{sqrt{56953}} \ eta=-frac1{sqrt{56953}} end{cases} \ herefore a_n=frac1{sqrt{56953}}left(left(frac{233+sqrt{56953}}2
ight)^n-left(frac{233-sqrt{56953}}2
ight)^n
ight) \ ecause 188305837^2 equiv 56953 ; ( ext{mod};10^9+7) \ herefore a_n equiv 233230706 imesleft(94153035^n-905847205^n
ight)
]
解决啦！！！
正题
递推关系(a_n = f_1a_{n-1} + f_2a_{n-2} + cdots + f_ka_{n-k})的特征方程为
[x^k = f_1x^{k-1} + f_2x^{k-2} + cdots + f_k
]
解出来之后会有很多很多的根，对其进行分类讨论
情况一：
(x)是(k)重根，那么在通项中加入(f(n)x^n)，其中(f(n))是一个(k-1)次多项式，需要待定系数
情况二：
(x_1,x_2)是一对共轭复根(apm bi)
那么在通项中加入：
[r^n(alpha cos(n heta)+eta sin(n heta))
]
其中(mathrm{tan} heta=frac{b}{a},;r=sqrt{a^2+b^2})
例题
求
[leftlceil (a + sqrt b) ^ n
ight
ceil \% m, (a-1)^2 < b < a^2
]
解：原式为
[(a+sqrt b)^n + (a - sqrt b)^n
]
是不是像情况一的时候的通项公式？？？
我们可以使用韦达定理还原特征方程，求出递推式，矩阵快速幂即可。
想不到还有反着推的题目吧