数据结构28：广义表及M元多项式

广义表，又称为列表。记作：

LS = （a₁,a₂,…,a_n） ;（ LS 为广义表的名称， a_n 表示广义表中的数据）。

广义表可以看作是线性表的推广。两者区别是：线性表中的数据元素只能表示单个数据元素；广义表中的单个数据元素 a_i ，既可以是单个元素，也可以是广义表。

原子和子表

在广义表中，单个元素被称为 “原子”；包含的广义表被称为 “子表”。

例如：

1. A = ()  ：A 表示一个广义表，只不过表是空的，广义表 A 的长度为 0。
2. B = (e)  ：广义表 B 中只有一个原子 e ，长度为 1。
3. C = (a,(b,c,d)) ：广义表 C 中有两个元素，原子 a 和子表 (b,c,d) ，广义表C的长度为 2。 
4. D = (A,B,C) ：广义表 D 中有三个元素：子表 A、B、C，长度为 3 ，这种表示方式等同于： D = ((),(e),(b,c,d)) 。
5. E = (a,E)  ：广义表 E 中有两个元素，原子 a 和它本身，长度为 2 。这是一个递归的表，等同于：E = (a,(a,(a,…)))。

A = () 和 A = (()) 是不一样的：前者是空表，长度为 0 ；后者表的长度为 1 ，包含的元素是一个子表，只不过这个子表是空表。

表头和表尾

当广义表不为空时，称表中的第一个元素为表的 “表头” ；剩余所有元素组成的表为 “表尾” 。

任何一个非空广义表，表尾肯定是广义表。

例如：上边例子中的 D = (A,B,C) ，子表 A 为广义表 D 的表头；而 (B,C) 组成的表为 D 的表尾。

非空广义表是由表头和表尾构成，反过来说也对：给定一个表头和表尾，可以唯一确定一个广义表。

广义表中结点结构

由于广义表中的数据元素类型分为原子和子表，难以使用顺序存储结构表示，所以通常采用链式存储结构。

根据原子和子表的不同，链式存储中的结点需要用两种不同的结构表示。对于原子来说，需要由两部分组成：标志位 + 值域（如图1（A））；子表需要由三部分组成：标志位 + 指向表头的指针域 + 指向表尾的指针域（如图1（B））。

两者都有一个相同的标志位，作用是为了能够区分出原子和字表，一般标志位为1，表示子表；标志位为0，表示原子。

图1 广义表的链表结点结构

代码表示：

typedef struct GLNode
{
　　int tag;　　//标志域
　　union
　　{
　　　　char atom;　　//原子结点的值域
　　　　struct
　　　　{
　　　　　　struct GLNode *hp, *tp;
　　　　}ptr;　　//子表结点的指针域，hp指向表头；tp指向表尾
　　};
}*Glist;

例如，使用图1的链表结构表示广义表 C = (a,(b,c,d))，效果图为：

图2 广义表C的结构示意图

实现代码为：

Glist creatGlist(Glist C)
{
　　// 广义表C
　　C = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->tag = 1;
　　// 表头原子‘a’
　　C->ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->ptr.hp->tag = 0;
　　C->ptr.hp->atom = 'a';
　　// 表尾子表（b,c,d）,是一个整体
　　C->ptr.tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->ptr.tp->tag = 1;
　　C->ptr.tp->ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->ptr.tp->ptr.tp = NULL;
　　// 开始存放下一个数据元素（b,c,d）, 表头为‘b’，表尾为（c,d）
　　C->ptr.tp->ptr.hp->tag = 1;
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.hp->tag = 0;
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.hp->atom = 'b';
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　// 存放子表(c,d)，表头为c，表尾为d
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->tag = 1;
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.hp->tag = 0;
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.hp->atom = 'c';
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　// 存放表尾d
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.tp->tag = 1;
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.tp->ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.tp->ptr.hp->tag = 0;
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.tp->ptr.hp->atom = 'd';
　　C->ptr.tp->ptr.hp->ptr.tp->ptr.tp->ptr.tp = NULL;

　　return C;
}

结点结构的另一种表示方式

除了上边的那种表示结点的方式，还可以采用另外一种表示形式，不同在于：表结点和原子结点都添加了一个指向下一个数据元素的指针；而子表结点中只保留了指向表头结点的指针，删除了指向表尾的指针。

图3 广义表的另一种结点结构

代码表示为：

typedef struct GLNode
{
　　int tag;　　//标志域
　　union
　　{
　　　　int atom;　　//原子结点的值域
　　　　struct GLNode *hp;　　//子表结点的指针域，hp指向表头
　　};
　　struct GLNode *tp;　　//这里的tp相当于链表的next指针，用于指向下一个数据元素
}*Glist;

例如，用这种结构结构表示C = (a,(b,c,d))，效果图为：

图4 广义表C的结构示意图

实现代码：

Glist creatGlist(Glist C)
{
　　C = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->tag = 1;
　　C->hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->tp = NULL;
　　// 表头原子a
　　C->hp->tag = 0;
　　C->atom = 'a';
　　C->hp->tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->hp->tp->tag = 1;
　　C->hp->tp->hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　C->hp->tp->tp = NULL;
　　// 原子b
　　C->hp->tp->hp->tag = 0;
　　C->hp->tp->hp->atom = 'b';
　　C->hp->tp->hp->tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　// 原子c
　　C->hp->tp->hp->tp->tag = 0;
　　C->hp->tp->hp->tp->atom = 'c';
　　C->hp->tp->hp->tp->tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
　　// 原子d
　　C->hp->tp->hp->tp->tp->tag = 0;
　　C->hp->tp->hp->tp->tp->atom = 'd';
　　C->hp->tp->hp->tp->tp->tp = NULL;

　　return C;
}

总结

在编写代码时，一定要注意不要破坏广义表中数据元素之间的关系，例如：C1 = (a,b,c,d)和 C2 = (a,(b,c),d)，两个广义表中数据元素是一样的，但是数据元素之间的关系不同，在 C1 中，各原子之间是并列的，而 C2 中，原子 a 和子表 (b,c) 和 d 是并列的。

补：M元多项式的表示

例如:

P(x,y,z) = x¹⁰y³z² + 2x⁶y³z² + 3x⁵y²z² + x⁴y⁴z + 6x³y⁴z + 2yz + 15

这是一个3元多项式(有3个变量：x,y,z)，使用广义表表示M元多项式，首先需要对多项式做一下变形:

P(x,y,z)=((x¹⁰+2x⁶)y³+3x⁵y²)z²+((x⁴+6x³)y⁴+2y)z+15

经过变形后，P(x,y,z)可以这样表示：

P(x,y,z)=Az²+Bz+15，其中：A=Cy³+Dy²，B=Ey⁴+Fy，C=x¹⁰+2x⁶，D=3x⁵，E=x⁴+6x³，F=2

经过两轮转化后，P这个 3 元多项式分解成了由 A 多项式和 B 多项式组成的一元多项式（只有一个变元 z ），而 A 也变成了由 C 多项式和 D 多项式组成的一元多项式，…。

当全部转化成能用一元多项式表示时，每一个一元多项式只需要存储各项的指数和系数就可以了。

广义表中每个结点的构成如图5所示：

图5 多项式结点构成

代码表示：

typedef struct MPNode
{
　　int tag;　　//区分原子结点和子表结点（0代表原子；1代表子表）
　　int exp;　　//存放指数域
　　union
　　{
　　　　int coef;　　//存放多项式的系数
　　　　struct MPNode *hp;　　//当多项式系数为子表时，用它
　　};
　　struct MPNode *tp;　　//相当于线性链表的next，指向下一个数据元素
}*MPList;

注意：在表示多项式的时候，每一个一元多项式，都要额外添加一个表头结点，用于记录此一元多项式中的变元（是x，y还是z），而所有的变元可以预先存储在数组中，这样就可以利用每一个表头结点中的 exp 变量表示变元所在数组中的位置下标。

实现代码：

MPList initP(MPList P)
{
　　char a[] = "xyz";
　　MPList F = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　F->tag = 1;
　　F->exp = 0;　　// 表示F这个一员多项式中的变元位a[0]，也就是x
　　F->hp = NULL;
　　F->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　F->tp->tag = 0;
　　F->tp->exp = 0;　　  // x的指数为0
　　F->tp->coef = 2;　　 // 系数为2
　　F->tp->tp = NULL;　　// tp截止，说明F=2;
　　MPList E = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　E->tag = 1;
　　E->exp = 0;　　// E中变元位a[0]，即x
　　E->hp = NULL;
　　E->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　E->tp->tag = 0;
　　E->tp->exp = 4;
　　E->tp->coef = 1;
　　E->tp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　E->tp->tp->tag = 0;
　　E->tp->tp->exp = 3;
　　E->tp->tp->coef = 6;
　　E->tp->tp->tp = NULL;// 截止，E=1*x4+6*x3（x后为它的指数）
　　MPList D = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　D->tag = 1;
　　D->exp = 0;// D中变元为a[0],即x
　　D->hp = NULL;
　　D->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　D->tp->tag = 0;
　　D->tp->exp = 5;
　　D->tp->coef = 3;
　　D->tp->tp = NULL;　　// 截止，D=3*x5(5是x的指数)；
　　MPList C = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　C->tag = 1;
　　C->exp = 0;　　// C中变元为a[0]=x；
　　C->hp = NULL;
　　C->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　C->tp->tag = 0;
　　C->tp->exp = 10;
　　C->tp->coef = 1;
　　C->tp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　C->tp->tp->tag = 0;
　　C->tp->tp->exp = 6;
　　C->tp->tp->coef = 2;
　　C->tp->tp->tp = NULL;　　// C=1*x10+2*x6
　　MPList B = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　B->tag = 1;
　　B->exp = 1;　　// B中变元为a[1]=y
　　B->hp = NULL;
　　B->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　B->tp->tag = 1;
　　B->tp->exp = 4;
　　B->tp->hp = E;
　　B->tp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　B->tp->tp->tag = 1;
　　B->tp->tp->exp = 1;
　　B->tp->tp->hp = F;
　　B->tp->tp->tp = NULL;　　// B=E*y4+F*x1;
　　MPList A = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　A->tag = 1;
　　A->exp = 1;　　// A中变元为a[1]=y;
　　A->hp = NULL;
　　A->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　A->tp->tag = 1;
　　A->tp->exp = 3;
　　A->tp->hp = C;
　　A->tp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　A->tp->tp->tag = 1;
　　A->tp->tp->exp = 2;
　　A->tp->tp->hp = D;
　　A->tp->tp->tp = NULL;　　// A=C*y3+D*y2;
　　P = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　P->tag = 1;
　　P->exp = 3;　　// 表示表元的数量
　　P->hp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　P->tp = NULL;
　　P->hp->tag = 1;
　　P->hp->exp = 2;　　// P中变元为a[2]=z;
　　P->hp->hp = NULL;
　　P->hp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　P->hp->tp->tag = 1;
　　P->hp->tp->exp = 2;
　　P->hp->tp->hp = A;
　　P->hp->tp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　P->hp->tp->tp->tag = 1;
　　P->hp->tp->tp->exp = 1;
　　P->hp->tp->tp->hp = B;
　　P->hp->tp->tp->tp = (MPList)malloc(sizeof(MPList));
　　P->hp->tp->tp->tp->tag = 0;
　　P->hp->tp->tp->tp->exp = 0;
　　P->hp->tp->tp->tp->coef = 15;
　　P->hp->tp->tp->tp->tp = NULL;　　// P=A*z2+B*z1+15

　　return P;
}