[luogu 1880]石子合并

题目描述

在一个园形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

题解

我们目测一个dp方程

设f[i][j]表示i到j合并的最小（大）价值

那么

dp的时候按照区间长度递增来dp

首先最大值，根据单调性 肯定是从和转移来的

最小值的时候。这个东西满足四边形不等式

设表示使i~j最优的分界点

首先当时

满足

且

那么枚举中间点的时候只要从枚举到

复杂度证明。。

这样一坨可以两两抓出来消掉

就是这个<=n。复杂度就可证为

这是最小值的做法

#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define inf 1001001001
#define infll 1001001001001001001LL
#define ll long long
#define dbg(vari) cerr<<#vari<<" = "<<(vari)<<endl
#define gmax(a,b) (a)=max((a),(b))
#define gmin(a,b) (a)=min((a),(b))
#define Ri register int
#define gc getchar()
#define il inline
il int read(){
    bool f=true;Ri x=0;char ch;while(!isdigit(ch=gc))if(ch=='-')f=false;while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=gc;}return f?x:-x;
}
#define gi read()
#define FO(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);

using namespace std;
int n;
int a[2333],s[2333],f[2333][2333],g[2333][2333];
int main(){
    n=gi;
    for(int i=1;i<=n;i++)    a[i]=a[i+n]=gi;
    for(int i=1;i<=n+n;i++)    s[i]=s[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n+n;i++)    f[i][i]=0,g[i][i]=i;
    for(int l=1;l<n;l++)    
        for(int i=1;i<=2*n-l;i++){
            int j=l+i;
            f[i][j]=inf/2;
            for (int k=g[i][j-1];k<=g[i+1][j];k++)
                if (f[i][k-1]+f[k][j]<f[i][j]){
                    f[i][j]=f[i][k-1]+f[k][j];
                    g[i][j]=k;
                  }
              f[i][j]+=s[j]-s[i-1];
        }
    
    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)    ans=min(ans,f[i][i+n-1]);
    printf("%d
",ans);
    for (int i=1;i<=2*n;i++)    f[i][i]=0;
    for (int k=1;k<=n-1;k++)
        for (int i=1;i<=2*n-k;i++){
            int j=i+k;
            if (f[i][j-1]>f[i+1][j])
                f[i][j]=f[i][j-1]+s[j]-s[i-1];
            else
                f[i][j]=f[i+1][j]+s[j]-s[i-1];
        }
    ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)    ans=max(ans,f[i][i+n-1]);
    printf("%d
",ans); 
    return 0;
}