铃铛计数问题——分块

题目

【题目描述】
圣诞节来了，仓鼠又要来策划活动了，今年仓鼠会在圣诞树上挂上铃铛！
已知圣诞树有 $n$ 个节点，并且根节点是固定的。记 $s[i]$ 表示以 $i$ 为根的子树中，所有节点上铃铛数目的总和。但仓鼠觉得询问 $s[i]$ 太简单了，他决定给定 $l$ 和 $r$，要你回答 $sumlimits_{i=l}^{r}s[i]$ 的值。
但是为了避免有的人一次预处理后一劳永逸，仓鼠在大家答题的过程中还会修改某个节点上灯笼的数量。仓鼠还要去筹备活动，你能帮助他写一个程序帮助实时给出标准答案吗？
【输入格式】
第一行为两个整数 $n$ 和 $q$，分别表示圣诞树的节点数和仓鼠操作的次数。
第二行 $n$ 个正整数，第 $n$ 个数 $w[i]$ 表示初始状态下第 $i$ 号节点的铃铛数。
接下来 $n$ 行，第 $i$ 行两个正整数 $u[i]$ 和 $v[i]$ ，描述一条树上的边，特别地，$u=0$ 时，表示 $v[i]$ 为圣诞树的根节点。你需要特别注意的是 $u[i]$ 不一定是 $v[i]$ 的父亲节点，也有可能 $v[i]$ 是 $u[i]$ 的父亲节点。
接下来 $q$ 行，每行三个正整数$op,l,r$。描述 $q$ 组操作。当 $op=1$ 时表示将编号为 $l$ 的节点上的铃铛修改为 $r$；当 $op=2$ 时表示询问 $sum
limits_{i=l}^{r}s[i]$ 的值。
【输出格式】
对于每组询问操作，你需要依据当前圣诞树情况输出该组询问的标准答案，每次询问的答案独占一行。
【样例输入】
6 6
7 4 3 4 9 1
4 2
0 1
2 1
2 3
5 3
6 5
2 1 3
1 1 1
2 3 6
2 3 5
1 3 5
2 6 6
【样例输出】
62
28
27
1
【数据范围与提示】
对于 $25\%$ 的数据， $n,q le 300$；
对于 $40\%$ 的数据， $n,q le 3000$；
对于另外 $10\%$ 的数据，所有操作 $op=2$；
对于另外 $15\%$ 的数据，所有 $op=2$ 的操作 $l=r$；
对于 $100\%$ 的数据，$n,q le 100000$ ，每个结点的铃铛数始终不超过 $10^9$。

题解

考虑分块

对原编号分块

记 $ f(i,j) $ 表示 $ i $ 这个点对块 $ j $ 的贡献，显然是可以由 $fa[i]$ 转移过来

记 $ res[i] $ 表示 $ i $ 这个块内的子树大小和，那么修改点 $ x $ 为 $ v $ 对块 $ i $ 的贡献为 $ f[x][i] imes v $

那么查询 $[l,r]$ 时对于完整的快直接加上这个快的 $res[x]$，对于左右两个不完整的块，查询单点贡献即可

接下来就是如何查询单点的贡献

对这颗树进行 dfs 时，记下这个点的 dfs 序和子树范围

记 $sum[i]=sum_{k=1}^i val[k],tag[i] $ 表示 $i$ 这个块前缀和被加的的值

对单点进行修改时，$i$ 后的块的 $tag$ 直接加上 $v$，暴力修改 $i$ 对这个块内的 $sum$ 的影响

查询单点的答案即为 $sum[ed[i]]-sum[dfn[i]-1]+tag[a[ed[i]]]-tag[a[dfn[i]-1]]$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define cal(i) (sum[ed[i]]-sum[dfn[i]-1]+tag[a[ed[i]]]-tag[a[dfn[i]-1]])
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
int R(){
    int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=0;x=ch^48;
    _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;}
const int N=1e5+5,M=325;
int n,m,f[N][M],head[N],cnt,Rt,Sz,a[N],val[N],Mx,tot,dfn[N],ed[N];
LL sum[N],res[N],sz[N],tag[N];
struct edge{int to,nex;}e[N<<1];
void add(int s,int t){e[++cnt]=(edge){t,head[s]},head[s]=cnt;}
void dfs(int u,int fa){
    for(int i=1;i<=Mx;i++)f[u][i]=f[fa][i];
    f[u][a[u]]++,dfn[u]=++tot;
    sum[tot]=sum[tot-1]+val[u],sz[u]=val[u];
    for(int k=head[u],v;k;k=e[k].nex)
        if((v=e[k].to)!=fa)
            dfs(v,u),sz[u]+=sz[v];
    ed[u]=tot,res[a[u]]+=sz[u];
    return;
}
void change(int x,int v){
    for(int i=1;i<=Mx;i++)res[i]+=1ll*v*f[x][i];
    int p=dfn[x];
    for(int i=p;i<=min(a[p]*Sz,n);i++)sum[i]+=v;
    for(int i=a[p]+1;i<=Mx;i++)tag[i]+=v;
    return;
}
LL ask(int l,int r){
    LL ans=0;
    if(a[l]==a[r]){
        for(int i=l;i<=r;i++)ans+=cal(i);
        return ans;
    }
    for(int i=l;i<=min(a[l]*Sz,n);i++)ans+=cal(i);
    for(int i=(a[r]-1)*Sz+1;i<=r;i++)ans+=cal(i);
    for(int i=a[l]+1;i<a[r];i++)ans+=res[i];
    return ans;
}
int main(){
    n=R(),m=R(),Sz=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=R(),a[i]=(i-1)/Sz+1;
    Mx=a[n];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int u=R(),v=R();
        if(!u)Rt=v;
        else add(u,v),add(v,u);
    }
    dfs(Rt,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op=R(),l=R(),r=R();
        if(op==1)
            change(l,r-val[l]),val[l]=r;
        if(op==2)
            printf("%lld
",ask(l,r));
    }
    return 0;
}