洛谷P2886 [USACO07NOV]牛继电器Cow Relays

题意很简单，给一张图，把基本的求起点到终点最短路改成求经过k条边的最短路。

求最短路常用的算法是dijkstra，SPFA，还有floyd。

考虑floyd的过程：

c[i][j]=min(c[i][j],a[i][k]+b[k][j]);

自然而然联想到矩阵乘法，每次加入一个点就相当于多加一条边，那么加k次就是k条边的最短路。

但是k可能很大（见数据范围），那么显然直接循环矩乘k次是行不通的，于是就想到了矩阵快速幂。

和普通快速幂一样的方式，只不过是把乘法替换成矩乘。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,t,s,e,num;
int p[2001];
struct M{
    long long v[201][201];
};
M gra,ans;
M cheng(M a,M b){
    M kk;
    memset(kk.v,0x3f,sizeof(kk.v));
    for(int k=1;k<=num;k++){
        for(int i=1;i<=num;i++){
            for(int j=1;j<=num;j++){
                kk.v[i][j]=min(kk.v[i][j],a.v[i][k]+b.v[k][j]);
            }
        }
    }
    return kk;
}
void ks(int x){
    while(x){
        if(x&1){
            ans=cheng(gra,ans);
        }
        gra=cheng(gra,gra);
        x>>=1;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&s,&e);
    memset(gra.v,0x3f,sizeof(gra.v));
    memset(ans.v,0x3f,sizeof(ans.v));
    for(int i=1;i<=t;i++){
        int a,b;
        long long c;
        scanf("%lld%d%d",&c,&a,&b);
        if(!p[a])p[a]=++num;
        if(!p[b])p[b]=++num;
        gra.v[p[a]][p[b]]=gra.v[p[b]][p[a]]=min(gra.v[p[b]][p[a]],c);
    }
    for(int i=1;i<=num;i++)ans.v[i][i]=0;
    ks(n);
    printf("%lld",ans.v[p[s]][p[e]]);
    return 0;
}