B 树（B-Tree）是为磁盘等辅助存取设备设计的一种平衡查找树，它实现了以 O(log n) 时间复杂度执行查找、顺序读取、插入和删除操作。由于 B 树和 B 树的变种在降低磁盘 I/O 操作次数方面表现优异，所以经常用于设计文件系统和数据库。
在 1972 年，在 Boeing Research Labs 工作的 Rudolf Bayer 和 Ed McCreight 发明了 B 树。当时他们并没有解释 B 树中的 "B" 代表什么涵义，所以猜测的多是 "Balanced", "Broad", "Bushy", "Boeing", "Bayer" 等，不过通常使用 "Balanced" 来描述树是平衡的。Ed McCreight 在 CPM 2013 会议中回答 "B" 的起源问题时说："对 B 的涵义思考的越多，对 B 树的理解则越深。"。
如下图是一棵键值为英语字母的 B 树，带浅阴影的节点是查找字母 R 时要检查的节点。
B 树内的节点关系
B 树中的节点分为内部节点（Internal Node）和叶节点（Leaf Node），内部节点也就是非叶节点（Non-Leaf Node）。
B 树的内部节点可以包含 2 个以上的子节点，所以在设计时可以预先设定可包含子节点的数量范围，也就是上界（Upper Bound）和下界（Lower Bound）。当向节点插入或删除数据时，也就意味着子节点的数量发生变化。为了维持在预先设定的数量范围，内部节点可能会被合并（Join）或拆分（Split）。因为子节点的数量有一定的范围，所以 B 树不需要频繁地变化以保持平衡。但同时，由于节点可能没有被完全填充，所以会浪费一些空间。
B 树中每一个内部节点会包含一定数量的键值（Key）。这些键值同时也扮演着分割子节点的角色。例如，假设某内部节点包含 3 个子节点，则实际上必须有 2 个键值：a1 和 a2。其中，a1 的左子树上的所有的值都要小于 a1，在 a1 和 a2 之间的子树中的值都大于 a1 并小于 a2，a2 的右子树上的所有的值都大于 a2。
通常，键值的数量被设定在 d 和 2d 之间，其中 d 是可包含键值的最小数量。可知，d + 1 是节点可拥有子节点的最小数量，也就是树的最小的度（Degree）。因数 2 将确保节点可以被合并或拆分。
如果一个内部节点有 2d 个键值，那么添加一个键值给该节点将会导致 2d + 1 的数量大于范围上界，则会拆分 2d + 1 数量的节点为 2 个 d 数量的节点，并有 1 个键值提升至父节点中。
类似地，如果一个内部节点和它的邻居节点（Neighbor）都包含 d 个键值，那么删除一个键值将导致此节点拥有 d - 1 个键值，小于范围下界，则会导致与邻居节点合并。合并后的节点包括 d – 1 的数量加上邻居的 d 的数量和两者的父节点中的 1 个键值，共为 d – 1 + d + 1 = 2d 数量的节点。
深度（Depth）描述树中层（Level）的数量。B 树通过要求所有叶节点保持在相同深度来保持树的平衡。深度通常会随着键值的不断添加而缓慢地增长。
B 树的定义
对于 B 树定义中的一些术语常有混淆，比如对于阶（Order）的定义。Knuth Donald 在 1998 年将阶（Order）定义为节点包含子节点的最大数量。
使用阶来定义 B 树，一棵 m 阶的 B 树，需要满足下列条件：
- 每个节点最多包含 m 个子节点。
- 除根节点外，每个非叶节点至少包含 m/2 个子节点。
- 如果根节点包含子节点，则至少包含 2 个子节点。
- 拥有 k 个子节点的非叶节点将包含 k - 1 个键值。
- 所有叶节点都在同一层中。
下面是一棵高度（Height）h = 3 的 B 树。
B 树上大部分操作所需的磁盘存取次数与 B 树的高度成正比。
使用 h 代表 B 树的高度；使用 n 代表整个树中包含键值的数量 n > 0；m 为内部节点可包含子节点的最大数量，则当树满时 n = mh – 1；每个内部节点最多包含 m - 1 个键值；使用 d 代表内部节点可包含最少子节点的数量，即最小度数（Degree）有 d = ⌈m/2⌉。
B 树的最优条件下的 h 为：
B 树的最差条件下的 h 为：
合理的选取最小度数 d 的值，可以大大地降低树的高度，则可降低查找任意键值时所需的磁盘存取次数。与自平衡二叉树相比，高度都以 O(log n) 的速度增长，对 B 树来说对数的底要大很多倍。对于大多数树操作来说，B 树要比自平衡二叉树节省大约 lg d 因子的节点检查次数。因为在树中查找任意一个节点通常都需要一次磁盘存取，所以磁盘存取的次数大大地减少了。
B 树的操作
查询操作
在 B 树中查询键值与在二叉树中的键值查询方式是类似的。从根节点开始查询，通过递归进行自顶向下的遍历。在每一层上，将查询键值与内部节点中的键值比较，以确定向哪个子树中进行遍历。
二叉树相关的查询可参考如下文章：
- 《二叉查找树》
- 《自平衡二叉查找树》
- 《平衡查找树（2-3-4 树）》
插入操作
当要插入一个新的键值时，首先在树中找到该键值应当被插入的叶节点的位置：
- 如果叶节点包含键值的数量在设定的范围上界和下界内，则直接插入新键值，并保持键值在节点中顺序。
- 否则，节点已满，将节点分割为 2 个节点：
- 选择中间值（Median）作为分割点；
- 小于中间值的键值放入新的左节点中，大于中间值的键值放入新的右节点中；
- 将中间值插入到父节点中。此时可能导致父节点满，采用同样方式分割。如果父节点不存在，比如是根节点，则创建一个新的父节点，也就导致树的高度增长。
删除操作
在 B 树中删除键值可以通过不同的策略来实现，这里介绍常见的定位删除策略：定位键值后删除，然后重构整个树至平衡。平衡指的是仍然保持 B 树的性质。
- 搜索要被删除键值的位置。
- 如果键值在叶节点中，则直接删除。
- 如果键值在内部节点中，由于其正扮演分割子节点的角色，所以删除后需要找一个替代键值继续保持两个子节点的分割。此时，可以选择左子节点中最大的键值，或者右子节点中最小的键值。将选中的键值从子节点中删除，然后插入到被替换的位置。
- 如果删除键值后的节点已经不满足对最少键值数量的要求，则需要重平衡整棵树，平衡操作包括旋转（Rotation）、组合（Join）等。
B 树的变种
"B 树" 这个术语在实际应用中还代表着多种 B 树的变种，它们有着相似的结构，却各有特点和优势：
- B 树在其内部节点中存储的键值不会再在叶节点中存储，内部节点不仅存储键值也会存储键值关联附属数据，或者存储指向关联附属数据的指针。同时，B 树会保持内部节点的 1/2 填充。
- B+ 树是 B 树的一个变种，在内部节点中存储的键值同样也会出现在叶节点中，但内部节点中不存储关联附属数据或指针。在叶节点中的不仅存储键值，还存储关联附属数据或指针。此外，叶节点还增加了一个指向下一个顺序关联叶节点的指针，以改进顺序读取的速度。
- B* 树也是 B 树的一个变种，要求除根节点外的内部节点要至少 2/3 填充，而不是 1/2 填充。为了维持这样的结构，当一个节点填满后不会立即分割节点，而是将它的键值与下一个节点共享，当两个节点都填满之后，再将 2 个节点分割成 3 个节点。
B+ 树的优势
B+ 树是 B 树的一个变种，在内部节点中存储的键值同样也会出现在叶节点中，但内部节点中不存储关联附属数据或指针。在叶节点中的不仅存储键值，还存储关联附属数据或指针。这样，所有的附属数据都保存在了叶节点中，只将键值和子女指针保存在了内节点中，因此最大化了内节点的分支能力。
此外，叶节点还增加了一个指向下一个顺序关联叶节点的指针，以改进顺序读取的速度。
常见的文件系统和数据库均使用 B+ 树实现，例如：
- 文件系统：NTFS, ReiserFS, NSS, XFS, JFS, ReFS, BFS, Ext4；
- 关系型数据库：DB2, Informix, SQL Server, Oracle, Sybase ASE, SQLite；
- NoSQL 数据库：CouchDB, Tokyo Cabinet；
B+ 树的优势在于：
- 由于内部节点不存储键值关联的附属数据，所以内部节点节省的空间可以存放更多的键值。也就意味着从磁盘存取一页时可获得更多的键值信息。
- 叶节点形成了一个链，所以对树的全扫描就是对所有叶节点的线性遍历。
B+ 树 C# 代码实现
在 GitHub 上的项目 BPlusTreePractice 使用 C# 语言实现了简单的 B+ 树，功能包括插入键值对、搜索键、删除键、存储至磁盘块文件等，但未实现节点链的双向链表和扫描功能。
下面是测试代码示例。
1 using System;
2 using System.IO;
3
4 namespace BPlusTreePractice
5 {
6 class Program
7 {
8 static void Main(string[] args)
9 {
10 // 指定磁盘文件位置
11 string treeFileName =
12 @"E:\BPlusTree_" + DateTime.Now.ToString(@"yyyyMMddHHmmssffffff") + ".data";
13 Stream treeFileStream =
14 new FileStream(treeFileName, FileMode.CreateNew, FileAccess.ReadWrite);
15
16 // 初始化 B+ 树，固定长度字符串为键，映射至长整形
17 int keyLength = 64;
18 int nodeCapacity = 2;
19 BPlusTree tree =
20 BPlusTree.InitializeInStream(treeFileStream, 0L, keyLength, nodeCapacity);
21
22 // 插入 0 到 7 共 8 个键值对
23 for (int i = 0; i < 8; i++)
24 {
25 tree.Set(i.ToString(), (long)(i * 1000)); // Key 是字符串，Value 是 long 类型
26 }
27
28 // 将 B+ 树输出到命令行
29 Console.WriteLine(tree.ToText());
30
31 // 获取指定的键值对
32 Console.WriteLine();
33 Console.WriteLine(string.Format("Tree's first key is {0}.", tree.FirstKey()));
34 Console.WriteLine(string.Format("Check key {0} exists {1}.",
35 "3", tree.ContainsKey("3")));
36 Console.WriteLine(string.Format("{0}'s next key is {1}.", "6", tree.NextKey("6")));
37 Console.WriteLine(string.Format("Get key {0} with value {1}.", "2", tree.Get("2")));
38 Console.WriteLine(string.Format("Index key {0} with value {1}.", "4", tree["4"]));
39 Console.WriteLine();
40
41 // 删除键值对
42 tree.RemoveKey("6");
43 Console.WriteLine(tree.ToText());
44
45 Console.ReadKey();
46 }
47 }
48 }
本篇文章《B 树和 B+ 树》由 Dennis Gao 发表自博客园个人技术博客，未经作者本人同意禁止任何形式的转载，任何自动或人为的爬虫转载或抄袭行为均为耍流氓。