1076: [SCOI2008]奖励关
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Description
你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？
Input
第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。
Output
输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。
Sample Input
1 2
1 0
2 0
Sample Output
1.500000
HINT
【数据规模】
1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。
题解
由于正着推不能保证是最优策略，所以倒着推。
枚举当前掉第了i个，状态j，当j满足包含l宝物所需的前提宝物时，那么下一个状态可以选择l。
转移方程为：f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(l-1))]+a[l])。
否则转移方程为：f[i][j]+=f[i+1][j]。
因为掉每一种宝物的概率为1/n，所以f[i][j]记得除以n。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=17,K=105;
int n,k;
int a[N],st[N];
double f[K][(1<<N)];
int main(){
scanf("%d%d",&k,&n);
int x;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
while(scanf("%d",&x)){
if(x==0)break;
st[i]+=(1<<(x-1));
}
}
for(int i=k;i>=1;i--){
for(int j=0;j<(1<<n);j++){
for(int l=1;l<=n;l++){
if((j&st[l])==st[l]){
f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(l-1))]+a[l]);
}
else f[i][j]+=f[i+1][j];
}
f[i][j]/=n;
}
}
printf("%.6lf
",f[1][0]);
return 0;
}