1019: [SHOI2008]汉诺塔
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Description
汉诺塔由三根柱子(分别用A B C表示)和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上,大的在下面,小的在上面,形成了一个塔状的锥形体。
对汉诺塔的一次合法的操作是指:从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层,同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面(如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求)。我们可以用两个字母来描述一次操作:第一个字母代表起始柱子,第二个字母代表目标柱子。例如,AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先,在任何操作执行之前,我们以任意的次序为六种操作(AB、AC、BA、BC、CA和CB)赋予不同的优先级,然后,我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子,直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子:(1)这种操作是所有合法操作中优先级最高的;(2)这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明,上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级,计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。
Input
输入有两行。第一行为一个整数n(1≤n≤30),代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符,代表六种操作的优先级,靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。
Output
只需输出一个数,这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。
Sample Input
3
AB BC CA BA CB AC
Sample Output
7
题解
题目中固定了移动的方向,所以移动的过程是确定的,但是次数不超过10^8,所以不能模拟下去。
考虑dp,设f[i][j]为将i块从小到大的盘子移动到另一个柱子上需要的步数,因为过程是确定的,所以最终移动到的柱子是确定的,设g[i][j]为将i块从小到大的盘子移动到的柱子的标号。
按照汉诺塔的方法,先将上面i-1个盘子移动到一根柱子上,再将第i个盘子移动到另一个柱子上,再将那i-1个移动到该柱子上。
所以f[i][j]和g[i][j]可以从i-1转移过来。
设另外两根柱子为a=g[i-1][j]和b=1+2+3-a-j。
则如果g[i-1][a]=b,直接将第i个盘子从j移动到b上,再将i-1个盘子从a移动到b上即可,那么转移方程为f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a],g[i][[j]=b。
如果g[i-1][a]=j,先将第i个盘子从j移动到b上,再将i-1个盘子从a移动到j上,再将第i个盘子从b移动到a上,再将i-1个盘子从j移动到a,则转移方程为f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a]+1+f[i-1][j],g[i][j]=a。
代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<iostream> #define LL long long using namespace std; const int N=35; int n; int g[N][5]; LL f[N][5]; char ch[10][5]; int main(){ scanf("%d",&n); scanf("%s%s%s%s%s%s",ch[1],ch[2],ch[3],ch[4],ch[5],ch[6]); for(int i=1;i<=3;i++){ for(int j=1;j<=6;j++){ if(ch[j][0]-'A'+1==i){ f[1][i]=1; g[1][i]=ch[j][1]-'A'+1; break; } } } int a,b; for(int i=2;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=3;j++){ a=g[i-1][j]; b=6-a-j; if(g[i-1][a]==b){ f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a]; g[i][j]=b; } else{ f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a]+1+f[i-1][j]; g[i][j]=a; } } } printf("%lld ",f[n][1]); return 0; }