浅析拉格朗日插值

前言

拉格朗日插值，是一个根据(n)个点确定唯一的(n-1)次多项式，然后(O(n^2))单点求值的算法。

它听起来好像很玄学、很高级，实际上很容易理解，毕竟我这种蒟蒻都看得懂。

拉格朗日插值

设多项式为(f(x))，已知(n)个点，坐标为((x_i,y_i))。现在要求(f(k))的值。

下面我们直接给出拉格朗日插值的基本公式：

[f(k)=sum_{i=1}^ny_iprod_{i≠j}{frac{k-x_j}{x_i-x_j}} ]

证明如下：

1. 它一看就是一个(n-1)次多项式。
2. 当(k=x_p)时：若(p≠i)，则存在某一时刻(p=j)，那么这时(k-x_j)值就为(0)，此时的(y_iprod_{i≠j}{frac{k-x_j}{x_i-x_j}}=0)；若(p=i)，则(k-x_j=x_i-x_j⇒frac{k-x_j}{x_i-x_j}=1)，那么此时的(y_iprod_{i≠j}{frac{k-x_j}{x_i-x_j}}=y_i)。故将任意(x_p)代入都可以得到(f(x_p)=y_p)。
3. 综上所述，这个函数是正确的。

这也就是一般的拉格朗日插值的全部内容了。

具体实现（板子题）

class Lagrange//拉格朗日插值
{
	public:
		I int GV(CI n,CI k,int *x,int *y)//插值
		{
			RI i,j,v1,v2,ans=0;for(i=1;i<=n;++i)
			{
				for(v1=v2=j=1;j<=n;++j) i^j&&(v1=1LL*v1*(k-x[j]+X)%X,v2=1LL*v2*(x[i]-x[j]+X)%X);//分别计算分子和分母
				ans=(1LL*y[i]*v1%X*Qpow(v2,X-2)+ans)%X;//统计
			}return ans;//返回答案
		}	
}G;