从暴力匹配到KMP算法

前言

现在有两个字符串：(s1)和(s2)，现在要你输出(s2)在(s1)当中每一次出现的位置，你会怎么做？

暴力匹配算法

基本思路

用两个指针分别指向当前匹配到的位置，并对当前状态进行分类讨论：若相同则继续往下匹配，否则回溯

大致思路

用(i)来存储(s1)当前匹配到的位置，用(j)来存储(s2)当前匹配到的位置，则可得初始状态下(i=j=0)。

对于当前状态，有两种可能性：

①：(s1[i]==s2[j])。则(i++,j++)

②：(s1[i]!=s2[j])。则(i-=(j-1),j=0)

评价

时间复杂度：(O(nm))。显然，这个方法效率并不高，每一次回溯要耗去大量时间，能不能进行优化呢？

(KMP)算法

简介

(KMP)算法是对暴力匹配算法的改进，由(D.E.Knuth)，(J.H.Morris)和(V.R.Pratt)同时发现，因此人们称它为(Knuth-Morris-Pratt)算法（简称(KMP)算法）。

基本思路

(KMP)算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个(Next)函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。

大致思路

还是用(i)来存储(s1)当前匹配到的位置，用j来存储(s2)当前匹配到的位置，则可得初始状态下(i=j=0)
对于当前状态，有两种可能性：
①：(s1[i]==s2[j])。则(i++,j++)
②：(s1[i]!=s2[j])。则(j=Next[j])（i不变）
其中(Next)数组存储的是当前这一位的部分匹配值（这在后面会详细介绍），所以只要让(j)变成(Next[j])，就可以继续对当前字符串进行匹配了，省去了i回溯所耗去的大量时间

(Next)数组

在匹配过程中，你可以发现一个基本事实是：当(s1[i])与(s2[j])不匹配时，你其实知道前面(j-1)字符是什么。

(KMP)算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

所以，我们就可以把当前所得到的部分匹配值给求出来。又由于对于同一个字符串，部分匹配值是固定不变的，所以可以把它存在(Next)数组里。

那么(Next)数组怎么求呢？

记得某大佬说过这样一句话：

(Excerpt)

求(Next)数组的过程就是一个(KMP)的过程。

首先，令(i=0)，(j=-1)，(Next[0]=-1)，且当前要求的是(Next[i+1])。则对于当前状态，有两种可能性：
①(j==-1)或(s2[i]==s2[j])。则(i++,j++,Next[i]=j)
②(j!=-1)且(s2[i]!=s2[j])。则(j=Next[j])//把(j)赋值为(j)的部分匹配值
这样就可以轻松求出(Next)数组了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000000
#define pc(ch) (pp_<100000?pp[pp_++]=ch:(fwrite(pp,1,100000,stdout),pp[(pp_=0)++]=ch))
int pp_=0;char pp[100000];
using namespace std;
int len1,len2,Next[N+5];//len1存储s1的长度，len2存储s2的长度，这样不用调用strlen()，strlen()会超时；Next[]存储部分匹配值 
char s1[N+5],s2[N+5];
inline void write(int x)
{
    if(x>9) write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inline void GetNext()//求出Next[]数组 
{
	register int i=0,j=Next[0]=-1;//初始化 
	while(i<=len2)//类似于一个KMP的过程 
	{
		if(j==-1||s2[i]==s2[j]) i++,j++,Next[i]=j;
		else j=Next[j];
	}
}
int main()
{
	register int i=0,j=0;
	scanf("%s%s",s1,s2),len1=strlen(s1),len2=strlen(s2),GetNext(); 
	while(i<=len1)//KMP的过程 
	{
		if(j==-1||s1[i]==s2[j]) {++i;if(++j==len2) write(i-len2+1),pc('
'),j=Next[j];/*如果找到答案就输出*/} 
		else j=Next[j];//如果匹配失败，就更新j为其部分匹配值 
	}    
	for(i=1;i<=len2;++i) write(Next[i]),pc(' ');//依照题意输出Next[]数组 
	return fwrite(pp,1,pp_,stdout),0;
}