- 有(n)个人，第(i)个人有(a_i)块饼干。
- 每个回合等概率选择一块饼干等概率送给除当前所有者外的一个人。
- 求期望多少回合后所有饼干在一个人手上。
- (nle10^5,sum a_ile3 imes10^5)
势能函数
关于势能函数可见【CF1025G】Company Acquisitions。
设饼干总数为(A)。在这道题中，对于一个局面只需要知道每个人的饼干块数(a_{1sim n})，因此不妨设一个局面的势能函数(F(a_{1sim n})=sum_{i=1}^nf(a_i))。
考虑每个人在一轮后饼干数量不变或(pm1)三种情况各自的概率，列出方程：
[sum_{i=1}^n(frac{a_i}{A}f(a_i-1)+frac{A-a_i}{A}cdotfrac1{n-1}cdot f(a_i+1)+frac{A-a_i}Acdotfrac{n-2}{n-1}cdot f(a_i))-sum_{i=1}^nf(a_i)=1
]
单独考虑某一个拥有(x)块饼干的人：
[frac{x}{A}f(x-1)+frac{A-x}{A}cdotfrac1{n-1}cdot f(x+1)+frac{A-x}Acdotfrac{n-2}{n-1}cdot f(x)-f(x)=frac{x}A
]
变个形：
[f(x+1)=(frac {A(n-1)}{A-x}-(n-2))f(x)-frac{x(n-1)}{A-x}f(x-1)+frac{x(n-1)}{A-x}\
]
不妨设(f(0)=0)，代入可得(f(1)=0)，剩下的就可以利用这个式子直接递推了。
最终答案为(f(A)-sum_{i=1}^nf(a_i))。
代码：(O(AlogA))
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define V 300000
#define X 998244353
using namespace std;
int n,a[N+5],f[V+5];I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int main()
{
RI i,A=0;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i),A+=a[i];
RI t;for(i=1;i^A;++i) t=1LL*(n-1)*QP(A-i,X-2)%X,f[i+1]=((1LL*A*t-(n-2)+X)%X*f[i]-1LL*i*t%X*f[i-1]%X+X+1LL*i*t)%X;//递推
for(t=f[A],i=1;i<=n;++i) t=(t-f[a[i]]+X)%X;return printf("%d
",t),0;//最终局面-初始局面
}