线段树

Segment tree

ruby实现的代码： git 

Wiki(翻译)

一种静态树的数据结构。用于储存intervals, segments。它可以查询储存的segments。

在原理上，这个结构建立后就不能修改。

翻译称为“线段树”。

线段树储存 a set I of n intervals， 创建的时间复杂度O(n log n).

它搜索k个intervals的时间复杂度是O(log n + k)

它的使用领域：

在计算几何学和地理数据系统 computational geometry, and geographic information systems.

线段树能够被概括到高纬领域“The segment tree can be generalized to higher dimension spaces.”

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英文文章的理解

Segment tree用在数组的范围查询和这个数组的元素修改。例如，查询一个数组的一段（从索引L到R）的所有元素的和， 或者它的查询最小值查询。

个人认为，线段树就是对一个超长数组的预先计算，比如范围求和，求最/小大值。把这些结果存储在线段树节点内，当需要查询的时候，无需遍历数组，而是以更快的速度O(lgN)，从线段树内得到查询结果。

什么是线段树？

一个二叉树。每个节点是一个线段interval/或者叫区间segment。

假如一个数组A, 长度为N, 使用线段树T:

1. T的root是整个数组A[0: N-1]，即整个数组的sum。
2. 每个叶节点代表单个元素A[i],  0=< i < N
3. 每个内部节点代表一段区间A[i: j], 就是从A[i]到A[j]的和sum。

根节点代表整个数组。然后被分开成2部分区间，分别代表左儿子和右儿子。

每个父节点和子节点的关系，都是这样的。所以线段树的高度（时间复杂度）是 O(lg N)。

N个叶节点代表N个数组的元素。非叶节点的数量为N-1。因此全部节点的数量为2*N - 1。

线段树被建立后，结构就不能修改了。但可以修改节点的值，因此它可以有2类操作：

1. Update: 更新数组元素A, 并在线段树上做出相应的变化。
2. Query：可以查询一个区间并返回结果（指定区间，求最大/小值，求和）

 

操作

既然线段树是一个二叉树，那么一个一纬数组就可以代表它。tree = [], 然后构建线段树后，tree的元素存储root/内节点/叶子节点的值。

其中:

tree[1] = array[0..6] 

tree[2] = array[0..3]

tree[3] = array[4..6]

...略

建立Segment-tree

首先，确认“节点内储存什么数据？”的问题。例如：如果问题是查找一段区间的元素的和sum，那么每个非叶子节点储存它的儿子节点的数据的和sum。

然后，使用递归方法建立树结构。因为叶节点储存数组元素，所以在递归回归的过程中，通过儿子节点的值相加得到父亲节点的值。

代码见下：

tree[1] == A[0..6] 

void build(int node, int start, int end)   #node代表节点编号。
{
    if(start == end)
    {
        // Leaf node will have a single element， A代表数组。
        tree[node] = A[start];
    }
    else
    {
        int mid = (start + end) / 2;
        // Recurse on the left child，建立左儿子节点，并在回归时，返回它自身。
        build(2*node, start, mid);
        // Recurse on the right child
        build(2*node+1, mid+1, end);
        // Internal node will have the sum of both of its children。父节点的值：sum。
        tree[node] = tree[2*node] + tree[2*node+1];
    }
}

ruby代码的实现:

array = [1,3,5,7,9,11]
# 用tree来存线段树。
tree = []
def build(node, start, tail, array, tree)
  # 判断是否是叶节点，然后把数组array的元素存入线段树的叶节点。
  if start == tail
    tree[node] = array[start]
  else
    mid = (start + tail)/2.to_i
    # 建立左儿子和右儿子
    build(2*node, start, mid, array, tree)
    build(2*node + 1, mid + 1, tail, array, tree)
    # 递归的回归过程中（bottom_up）,计算内节点的值
    tree[node] = tree[2*node] + tree[2*node +1]
  end
end

build(1, 0, array.size - 1 , array, tree)

p tree
#结果是：
# [nil, 36, 9, 27, 4, 5, 16, 11, 1, 3, nil, nil, 7, 9]

小结：

线段树可以使用递归方法建立Recursion(bottom-up 方法)。从root向下形成树结构，再从叶节点一路向上到root，更新从叶节点到root的过程中的节点的值。

每一步，2个儿子节点形成它们的父节点。每个内部节点都代表它们儿子区间的合成。最后递归在root完成，root代表了了整个array的sum。

Update

代码和构建代码的过程类似，都是从root开始，根据元素的index，从root开始判断，找到它所在的叶节点。

然后，更新叶节点的值，并返回叶节点的值给父节点，然后一路向上，回归的过程中更新内部节点。

时间

def update(node, start, tail, idx, val, tree)
  if start == tail
    tree[node] = val
    return
  end
  # 判断idx在左子树还算右子树
  mid = (start + tail)/2.to_i
  if start <= idx && idx <= mid
    update(2*node, start, mid, idx, val, tree)
  else
    update(2*node + 1, mid+1, tail, idx, val, tree)
  end
  tree[node] = tree[2*node] + tree[2*node +1]
end

build(1, 0, array.size - 1 , array, tree)
p tree
#结果是：
# [nil, 36, 9, 27, 4, 5, 16, 11, 1, 3, nil, nil, 7, 9]
# 更新array的元素 array[1] == 2
array[1] = 2
# 更新线段树
update(1, 0, array.size - 1, 1, 2, tree)
p tree
#结果： [nil, 35, 8, 27, 3, 5, 16, 11, 1, 2, nil, nil, 7, 9]
# tree[9] 即array[1]

 

Query

范围查询是线段树结构的优势。时间复杂度lgN。

方法：

假如想要得到从L到R的范围的array的元素的sum。首先，从root开始递归，并检查内部节点是否在范围（L to R）内。然后，判断有几种情况：

• 要查询范围正好和节点的范围完全重合（start == L && R == tail），直接返回节点的值。
• 要查询范围完全不在节点的范围内（不相交） ( R <start || L > tail)，返回值0即可。
• 要查询范围在节点的范围内部(被包含）（start < L && R < tail），继续向下递归查询。
• 要查询范围包含了节点的范围 (包含)，(L < start && tail < R)， 直接返回节点的值。
• 要查询范围部分在节点的范围内 (部分相交)，继续向下递归查询。

经过整理其实就三种情况：

• L <= start && tail <= R， 返回node的值
• R <start || L > tail， 返回0
• 其他2种：部分相交和要查询范围在节点范围内（但不重合）的情况。继续向下递归

还使用上面的例子：数组array, 用户想要查询array[2]到array[4]的sum。怎么通过线段树结构计算sum?

代码：

# node为当前查找的节点的在线段树的索引
# queryL, 用户查找的左边界
# queryR, 用户查找的右边界
def query(node, start, tail, queryL, queryR)
  # 不相交，返回0
  if queryR < start || tail < queryL
    return 0
  # 查询范围包含（或完全重合）了当前节点的范围。
  elsif queryL <= start && tail <= queryR
    return tree[node]
  else
  #其他情况：部分相交和要查询范围在节点范围内（但不重合）的情况，递归：  
    mid = (start + tail)/2.to_i
    p1 = query(2*node, start, mid, queryL, queryR)
    p2 = query(2*node + 1, mid + 1, tail, queryL, queryR)
    return p1 + p2
  end
end

对一段数组来说，按它的基本结构：求和操作的话花费O(N)时间；更新元素的值花费O(1)

换成线段树结构后：

根据需求构建它使用O(N),  完全更新一个元素是O(logN), query是O(logN)。

参考：

https://www.hackerearth.com/zh/practice/data-structures/advanced-data-structures/segment-trees/tutorial/

https://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree