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TopCoder - 12584 SRM 582 Div 1 SemiPerfectPower (莫比乌斯反演)

题目大意：

给定(L,R)，求([L,R])中能够表示为(acdot b^c(1leq a<b,c>1))的数(SemiPerfect数)的个数

(Rleq 8cdot 10^{16})

解题思路

首先显然可以通过作差转化为求([1,n])内的个数

接下来考虑简化(c)的情形

推论：任何一个SemiPerfect数可以表示为(cleq 3)的形式

证明：若(c>3)，对于(n=acdot b^c(c>3))

当(2|c)时，显然存在形如(n=acdot (b^{frac{c}{2}})^{2})的表示

当(2 ot |c)时，可以表示为(n=(acdot c)cdot (b^{frac{c-1}{2}})^2)同样合法

接下来考虑对于两种情况分类讨论

为了便于叙述，令(F(n)=max lbrace kin N^+| k^2|n brace)

(G(n)=[ exists k>1,k^3|n])

Part1 (c=2)

为了避免重复，强制每一个数(n)的唯一表示为

(n=acdot b^2(F(a)=1,a<b))

由于(a<b)，所以显然(n>a^3)，即(a<n^{frac{1}{3}})

暴力枚举(a)，预处理(n^{frac{1}{3}})中所有的(G(i))即可

[ ]

Part (c=3)

同样的，限制条件为(n=acdot b^3,(G(a)=1,a<b))，得到(a<n^{frac{1}{4}})

但是由于(c=2,3)两部分有重复，还需额外考虑强制(n)不存在形如(n=a'cdot b'^2)的表示

假设已知(n=acdot b^3)，不存在(n=a'cdot b'^2)的判定条件是

(a'=frac{n}{F^2(n)}ge F(n))，即(F(n)leq n^{frac{1}{3}})

同时由于(F(n)=F(acdot b)b)

得到(F(a,b)leq a^{frac{1}{3}})

由于等号右边包含(a)，考虑枚举(a)，易求出(L=F(a),d=frac{a}{L^2})，得到(F(acdot b))的另一种表达形式

(F(acdot b)=L cdot gcd (d,b)cdot F(frac{b}{gcd(d,b)})leq a^{frac{1}{3}})

上面的转化意为：(L)为(a)中已经成对的部分自然取出，然后优先考虑为(D)匹配(b)中的因数成对，对于剩下的部分再重新计算答案

[ ]

化简该式，得到(Lcdot gcd(d,b)F(frac{b}{gcd(d,b)})leq a^{frac{1}{3}})

式子包含$gcd $，似乎具有莫比乌斯反演的性质

考虑计算(bin [a+1,(frac{n}{a})^{frac{1}{3}}])的数量

观察到(a^{frac{1}{3}}leq n^{frac{1}{12}})，上限只有(25)左右，可以考虑直接枚举(F(frac{b}{gcd(b,d)}))

令枚举的(g=gcd(b,d),F(frac{b}{g})=f)，计算(gcd(frac{b}{g},frac{d}{g})=1,gcdot fcdot Lleq a^{frac{1}{3}})的(b)的数量

考虑直接从(frac{b}{g})中把(f^2)的因数提取出来，令(egin{aligned} L'=lceil frac{a+1}{gf^2} ceil,R'=lfloor frac{(frac{n}{a})^{frac{1}{3}}}{gf^2} floor end{aligned})，令(i=frac{b}{gf^2},x=frac{d}{g})，得到新的限制条件式子为

(gcd(x,f)=1,gcd(i,x)=1,F(i)=1,iin[L',R'])

在确定了(g,f)之后，需要考虑的限制就是(gcd(i,x)=1,F(i)=1,iin[L',R'])

由于包含(gcd)，不妨用莫比乌斯反演计算该式，得到表达式为

(Sum=sum_{k|x}mu(k)sum_{iin [L',R']} [k|i ext{and} F(i)=1])

对于(k)，计算(sum_{iin[L',R']}[k|i ext{and} F(i)=1])可以归纳为计算

(sum_{i=frac{n}{k}} [F(ik)=1])，一共有(n^{frac{1}{3}}ln n)种不同的权值，可以暴力预处理得到

枚举(d)的因数对于所有的上面的式子计算，可能的(g,f)并不多，可以直接枚举

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pb push_back
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)

class SemiPerfectPower {
public:
	static const int N=450000,M=20000;
	int w[N],notpri[N],pri[N],pc,F[N],G[N];
	vector <int> S[N],Fac[N];
	ll gcd(ll a,ll b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
	SemiPerfectPower(){
		// 预处理F,G ,w[i]=mu(i) S[k][i]=sum_{j in [1,i]}  F(i,k)=1
		rep(i,1,sqrt(N)) rep(j,1,(N-1)/i/i) F[i*i*j]=i;
		rep(i,2,pow(N,1/3.0)) rep(j,1,(N-1)/i/i/i) G[i*i*i*j]=1;
		rep(i,1,M-1) for(int j=i;j<M;j+=i) Fac[j].pb(i);
		w[1]=1;
		rep(i,2,N-1) {
			if(!notpri[i]) pri[++pc]=i,w[i]=-1;
			for(int j=1;i*pri[j]<N && j<=pc;++j) {
				notpri[i*pri[j]]=1;
				if(i%pri[j]==0) {
					w[i*pri[j]]=0;
					break;
				} 
				w[i*pri[j]]=-w[i];
			}
		}
		rep(i,1,N-1) if(w[i]) {
			S[i].resize(N/i+1);
			rep(j,1,(N-1)/i) S[i][j]=S[i][j-1]+(F[i*j]==1);
		}
	}

	ll Solve2(ll n){
		ll ans=0,UX=pow(n,1/3.0);
        // 防止浮点误差
		if((UX+1)*(UX+1)*(UX+1)<=n) UX++;
		if(UX*UX*UX>n) UX--;
		rep(i,1,UX) if(F[i]==1) {
			ll UY=sqrt(n/i);
            // 防止浮点误差
			if(i*(UY+1)*(UY+1)<=n) UY++;
			if(i*UY*UY>n) UY--;
			ans+=max(0ll,UY-i);
		}
		return ans;
	}

	ll Solve3(ll n){
		ll UX=pow(n,0.25); 
		// 枚举c的上界
		ll ans=0;
		if((UX+1)*(UX+1)*(UX+1)*(UX+1)<=n) UX++;
		rep(x,1,UX) if(!G[x]) {
			ll UY=pow(n/x,1.0/3.0),U=pow(x,1/3.0);
			
			// 防止浮点误差
			if((U+1)*(U+1)*(U+1)<=x) U++;
			if(U*U*U>x) U--;
			if(x*(UY+1)*(UY+1)*(UY+1)<=n) UY++;
			if(x*UY*UY*UY>n) UY--;

			int L=F[x],D=x/L/L;
			for(int G:Fac[D]) {
				for(int g:Fac[G]) {
					if(g*L>U) break;
					rep(f,1,U/g/L) if(gcd(f,D/g)==1) {
						int L=x/G/f/f,R=UY/G/f/f;
						ans+=w[G/g]*(S[G/g][R]-S[G/g][L]);
					}
				}
			}
		}
		return ans;
	}
	ll Solve(ll n) {
		return Solve2(n)+Solve3(n);
	}
	ll count(ll L,ll R) {
		return Solve(R)-Solve(L-1);
	}
};