矩阵行列式
对于一个(n)行(n)列的矩阵(A)，有矩阵的行列式(常用(det(A),|A|))表示
行列式的意义
如果将矩阵的每一行视为一个(n)维向量，则(n)阶行列式的意义可以看做是:
有向长度/面积/体积在(n)为空间下的扩展
具体的例子
(n=1)时，(|A|=A_{1,1})，即有向长度
(n=2)时，(|A|=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}=vec{A_1} imes vec{A_2})
因此也可以得到常用的一个3维向量外积的表达式
(vec{a} imes vec{b}=egin{vmatrix} vec{x} vec{y} vec{z} \ a_1 a_2 a_3\ b_1 b_2 b_3end{vmatrix})
其中(vec{x},vec{y},vec{z})是三维平面的三个维度的单位向量
上式即将有向体积中的一个向量改为单位向量后压缩到一个平面上
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最基本的求法：
枚举(1,2,cdots,n)的一个排列(p_i)，设排列(p)的逆序对为(f(p))
则(egin{aligned} |A|=sum (-1)^{f(p)} Pi A_{i,p_i}end{aligned})
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矩阵行列式的性质：
1.交换任意两行(列)得到矩阵(A')，则(|A'|=-|A|) (交换后每个排列(f(p))的奇偶性改变)
2.对于某一行(列)乘上一个值(k)得到矩阵(A')，则(|A'|=k|A|)
3.某一行减去另一行的(k)倍得到矩阵(A')，则(|A'|=|A|)
根据性质得到的快速求法
根据性质1,2,3可以对于矩阵进行高斯消元
而对于一个上三角/下三角矩阵，带入上面的基本求法，显然能够得到非0值的排列只有对角线(p_i=i)
因此得到上/下三角矩阵之后就可以快速求解,复杂度为高斯消元的(O(n^3))