gcd（欧几里得算法）与exgcd（扩展欧几里得算法）

欧几里得算法：

1.定义：gcd的意思是最大公约数，通常用扩展欧几里得算法求

原理：gcd(a, b)=gcd(b, a%b)

2.证明：

令d=gcd(a, b)  =>  a=m*d，b=n*d

则m*d=t*n*d+a%b  =>  a%b=d*(m-t*n)

gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d)

令gcd(n, m-t*n)=e  =>  n=x*e，m-t*n=y*e

则m-x*e*n=y*e  =>  m=e*(x*n+y)

由gcd(n, m)=1知gcd(e*(x*n+y), e*x)=1

故e=1

故gcd(n*d, (m-t*n)*d)=d即gcd(b, a%b)=gcd(a, b)

3.边界：

当b=0时return a

可以视为gcd(a, 0)=a，任何数都能整除0

也可以视为gcd(a, b)=b，这里的a和b是上一层的，满足a%b=0

4.特殊情况：
当a<b时，a%b=a，所以在下一层gcd(b, a%b)中相当于把a与b交换

5.代码：

int gcd(int a,int b){  return b ? gcd(b,a%b) : a;}

扩展欧几里得算法：

1.丢番图方程：

有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。

扩展欧几里得算法研究的是形如 a*x+b*y=c 的丢番图方程的解

2.裴蜀定理：

对于正整数a和b，令gcd(a, b)=d，则对于任意整数x和y，都有d|(a*x+b*y)

证明：

令a=n*d，b=m*d，则a*x+b*y=d*n*x+d*m*y

显然d|(d*n*x+d*m*y)

3.引理：

丢番图方程 a*x+b*y=c 有解当且仅当d|c

对于任意整数x和y，a*x+b*y的最小正值为gcd(a, b)

证明：

①必要性：

由裴蜀定理，不存在整数x和y，使得d不整除(a*x+b*y)

②充分性：

要证a*x+b*y=c有解，只需a*x+b*y=d有解

令对于任意整数x和y，a*x+b*y能得到的最小正值为s

由裴蜀定理，d|s，则d<=s

令q=⌊a/s⌋，p=a%s

则p=a-q*(a*x+b*y)=a*(1-q*x)-q*b*y=a*(1-q*x)+b*(-q*y)

由p=a%s知0<=p<s

又s为a*x+b*y能得到的最小正值

故p=0，即s|a

同理，s|b，即s|d，故s<=d

综上，s=d

即对于任意整数x和y，a*x+b*y能得到的最小正值为d

故存在整数x和y，使a*x+b*y=d

即存在整数x和y，使a*x+b*y=c

 4.扩展欧几里得算法：

通常将求解a*x+b*y=c转化为求解a*x+b*y=gcd(a, b)，得解后乘上c/gcd(a, b)即可

令
a*x1+b*y1=gcd(a, b)

b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b)

由gcd(a,b)=gcd(b,a%b)知

a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2

=b*x2+(a-b*⌊a/b⌋)*y2=a*y2+b*(x2-⌊a/b⌋*y2)

故x1=y2，y1=(x2-⌊a/b⌋*y2)

如此递归直至边界情况

5.边界：

当b=0时，gcd(a, b)=a（任何数都能整除0）

a*x+b*y=a*x=gcd(a, b)*x

若使a*x+b*y=gcd(a, b)，只需x=1，y可以为任何值，通常设为0，减少溢出的风险

y的多值对应方程的多解

6.通解：

对于对于第一个解x0和y0，其他解可以表示为x0+(b/d)*k和y0-(a/d)*k

推导：

令a*(x+m)+b*(x-n)=d

=>  a*m=b*n  => m/n=b/a

因gcd(a, b)=d，m和n均为整数

故m和n的最小值分别为b/d和a/d

若要求其中一个解为正整数，可在得到负解后用通解转化为正数

7.代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y,y=(z-a/b*y);
}

8.易错点：

算法中存在乘法，有溢出的风险，应见机开long long

例题：

洛谷4549 裴蜀定理

洛谷1516 青蛙的约会 

洛谷3951 小凯的疑惑

洛谷1082 同余方程