同余与模算术

1.大整数取模

把大整数写成“自左向右”的形式：1234=（(1*10+2)*10+3)*10+4;然后逐步取模。

eg：n<=10¹⁰⁰,m<=10¹⁸。但是要注意乘法溢出的问题。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    char a[200];
    long long p;
    while(cin>>a>>p)
    {
        int len=strlen(a);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<len;i++)
            ans=(ans*10+a[i]-'0')%p;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

为了解决上面乘法溢出的问题，可以采用如下方法：

2.F快速幂

大致意思是给出三个数n，m，p。他们的范围是0到10¹⁸。

求n*m%p。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long n,m,p;
    while(cin>>n>>m>>p)
    {
        n%=p;
        long long ans=0;
        while(n)
        {
            if(n&1)//判断最低位是否为1
                ans=(ans+m)%p;
            n/=2;
            m=2*m%p;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

3.T快速幂（幂取模）

输入正整数a，n，m，输出 aⁿ mod m 的值。a，n，m<=10¹⁸ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll pow_mod(ll a,ll n,ll m)
{
    if(n==0)
        return 1;
    ll  x=pow_mod(a,n/2,m);
    ll ans=x*x%m;
    if(n&1)
        ans=ans*a%m;
    return ans;
}
int main()
{
    ll a,n,m;
    while(cin>>a>>n>>m)
    {
        cout<<pow_mod(a,n,m)<<endl;
    }
    return 0;
}

或者

ll pow_mod(ll a,ll b,int n)
{
    a%=n;
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=ans*a%n;
        b=b>>1;
        a=a*a%n;
    }
    return ans;
}

Last but not lest,

模线性方程组

输入正整数a，b，n解方程ax≡b(mod n)。a，b，n<=10⁹ 。

拓展:同于模定理：a≡b(mod n)的意思是：a和b除以n的余数相同。其次充要条件是a-b是n的整数倍。

     这样，这个倍数是有，那么ax-b=ny，移项，ax-ny=b。这个时候就用扩展欧几里德算法自己叭叭叭敲吧。

提示：

typedef unsigned long long ll;//要是觉得long long 敲起来太长可以这样

今天也是元气满满的一天！good luck！