[BZOJ2839]集合计数

[组合数学T3]

---

数学知识

update:扩展欧拉定理：

似乎没什么知识性的东西

 线性求逆元      inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;    (inv[0]=inv[1]=1)

预处理逆元，阶乘，逆元的阶乘

    inv[0]=inv[1]=1;
	fac[1]=1;
	invfac[0]=invfac[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
	}

---

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

输入格式

一行两个整数N,K

输出格式

一行为答案。

样例

样例输入

3 2

样例输出

6

数据范围与提示

样例说明

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

数据说明

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

---

题解

1.交集为k的方案数==在剩下的n-k个元素中交集为空集的方案数

2.定义F[i]为交集至少为i的方案数

　　　　则在剩下n-i个元素中，有2^(n-i)个交集

　　　　将这些交集看成新元素，有2^2n-i种方案，然后减去空集的一种情况

　　　　   可得 F[i]=C(n-i,i)*(2^2n-i -1)

3.n-=k后  此时求交集为0的方案数，

　　　　根据容斥（事实上容斥并不好想，完全可以打表找规律）

     　　    所求为F0-F1+F2-F3······

4.又因为n中选k个数有C(n+k,k)个方案

　　　　最后输出*C(n+k,k)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;

const int mod=1e9+7;
const int maxn=1000005;
int n,k;
int inv[maxn],fac[maxn],invfac[maxn];
int C(int a,int b)
{
    return fac[a]*invfac[b]%mod*invfac[a-b]%mod;
}
int poww(int a,int b,int p)
{
    int ans=1;
    a%=p;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    ans%=p;
    return ans;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    inv[0]=inv[1]=1;
    fac[1]=1;
    invfac[0]=invfac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
    }
    int ans=0;
    n-=k;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i&1)  ans=(ans-(poww(2,poww(2,n-i,mod-1),mod)-1)*C(n,i))%mod;
        else     ans=(ans+(poww(2,poww(2,n-i,mod-1),mod)-1)*C(n,i))%mod;
    }
    ans=(ans*C(n+k,k)%mod+mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
}