题目描述
题目传送门[https://www.luogu.org/problem/P1006]
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0−100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这2条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的2条路径。
输入格式
输入文件，第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列。
接下来的m行是一个m×n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出文件共一行，包含一个整数，表示来回2条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例
输入：
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出：
34
说明/提示
【限制】
30%的数据满足：1≤m,n≤10
100%的数据满足：1≤m,n≤50
题解
想法取于本题题解首位
可以认为是左上角的人同时传两张纸条给右下角的人，路径不重复
一般的想法是思维dp[i][j][k][l]，i,j,k,l分别代表两个点的横纵坐标
但是仔细思考可以发现在本题中存在一个性质：
对于任意一个时刻，两张纸条在同一条斜线上（把每个同学当做一个点，建立一个m×n的棋盘）
在同一条斜线上的坐标满足横纵坐标之和相等
所以可以用一个k表示某时刻两个纸条此时的横纵坐标之和
同时，只需要单独表示纸条的横坐标i，就可以用k-i来表示其纵坐标
可以设f[k][i][j],i,j分别表示两个纸条的横坐标
状态转移方程为f[k][i][j]=max(f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j],f[k-1][i][j-1])+a[k-i][i]+a[k-j][j]；
当然，要先判断是否可以达到这一个状态（具体见代码）
代码
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define R register
#define ll long long
using namespace std;
int read(){
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48); c = getchar();}
return x * f;
}
int m,n;
int h[61][61];
int f[121][61][61];
void init(){
m=read(),n=read();
for (R int i(1);i<=m;++i)
for (R int j(1);j<=n;++j) h[i][j]=read();
}
void doit(){
memset(f,-1,sizeof(f));
f[2][1][1]=0;//初始赋值emmm
for (R int k(3);k<m+n;++k)
for (R int i(1);i<n;++i)
for (R int j(i+1);j<=n;++j){
f[k][i][j]=max(max(f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j]),max(f[k-1][i-1][j],f[k-1][i][j-1]));
if (f[k][i][j]==-1) continue;//如果达不到这个状态就跳过了
f[k][i][j]+=h[k-i][i]+h[k-j][j];//能达到就加上好感度
}
printf("%d
",f[m+n-1][n-1][n]);//右下角的点肯定达不到的，事实上，只要是右下角上面或者左边的那个点的状态就欧克了
}
signed main(){
init();
doit();
return 0;
}