NOIP2005普及组第4题 循环

NOIP2005普及组第4题 循环

　　

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题目描述

乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。

 

众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

循环

循环长度

 

数字	循环	循环长度
2	2、4、8、6	4
3	3、9、7、1	4
4	4、6	2
5	5	1
6	6	1
7	7、9、3、1	4
8	8、4、2、6	4
9	9、1	2

这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？

注意：

1． 如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。

2． 如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a + L次幂的最后k位都相同。

输入

      只有一行，包含两个整数n（1 <= n < 10100）和k（1 <= k <= 100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。

输出

    包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。

 

 

【数据规模】

 

 

 

对于30%的数据，k <= 4；

 

对于全部的数据，k <= 100。

样例输入

32 2

样例输出

4

提示

题目类型：高精度乘法+规律。

分析：一般来说遇到这种问题，像10^100这样的数据范围，不是高精度就是另有规律可循。这是一个循环结问题，以往有遇到打表找规律的这种问题，极容易被忽悠。

WA点：

1. 答案有可能存在long long int保存不下的情况，需要用数组保存。并且过程需要高精度高乘。
2. 既需要高精度低乘，又需要高精度高乘，在数组拷贝的过程中极可能出现失误。
3. 单组输入

TLE点：

1. 在数组的比较过程中，可以用O(1)的时间复杂度解决，而不必O(100)。

 

高精度高乘：大数与大数相乘，数组乘数组实现。

 

高精度低乘：大数与整数（较小）相乘，数字乘数字实现。

 

规律：当后K为数字存在循环结的必要条件是，后K-1位数字存在循环结，并且K的最小循环结必定是K-1的最小循环结的整数倍。并且对于当前位数的处理不必要取模，既然已经用了数组高精度保存便可以只考虑当前位数。在比较时，显然后K-1位已经按照之前的循环结递推过来必定相同，我们只需要比较倒数第K位是否相等即可。

 

技巧：关于查找循环结上限的问题，当前位数出现可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，在10次之内必定会出现与第一次相同的情况，当前次数*K-1的循环结即可得到K的循环结。如果10之内未能出现，那肯定就不存在了。

 

 

解析：我直接举一个例子进行说明吧：111 3（由于1的循环长度就是1，所以我直接从末两位循环开始）

 

          我们来看111的末两位循环：

 

          111  -> 321 -> 631 -> 041 -> 551 -> 161 -> 871 -> 681 -> 591 -> 601 -> 711 

 

          711处末两位出现循环，循环长度为10，循环节为11-> ...-> 01

 

          现在我们再来看末三位循环：

 

          111->...->601 (10个数)

 

          711->...->201 (201就是601^2的末三位)

 

          311->...->801 (801就是601^3的末三位)

 

          911->...->401 (401就是601^4的末三位)

 

          511->...->001 (001就是601^5的末三位)

 

          111->...->601 (601就是601^6的末三位)  

 

          末三位的循环长度就是5*10=50；

 

 

          好了，现在来讲具体的做法，并假设我们现在求数字n的后k位循环。

 

          朴素的做法就是直接求n^2,n^3,n^4.。。。，并判断是否出现循环。但观察上面的演示例子，我们发现可以不必这样，以n=111为例，末两位循环节长度为10，即表示n与（n^10）*n的末两位是相同的。对于末三位的循环，肯定是（m*n^10），即m*(n^10)与n^10的末三位是相同的，m*（n^10）*n的末三位与n相同。 于是，计算末三位循环的时候，我们就直接将n^10作为第一个数，然后每次乘n^10，共乘5次，末三位出现循环，即m=5，所以末三位循环街长度就为5*10=50。

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
string s;
int m, k; int i, j; int a[205], aans[205], n[205], ans[205], last[205], now[205], t[205];
int single_j[12] = { 1,1,4,4,2,1,1,4,4,2 };//单循环结
void init() 
{
    memset(a, 0, sizeof a); memset(last, 0, sizeof last);
    memset(aans, 0, sizeof aans); memset(now, 0, sizeof now);
    memset(ans, 0, sizeof ans); memset(n, 0, sizeof n); memset(t, 0, sizeof t);
    //for (int i = 1;; i++) { if (m == 0) break; n[i] = m % 10; m /= 10; }//将m存入数组n，以便于高精度
}
void multiplyh(int x[], int y[], int z[]) 
{//高精度高乘
    int up = 0;
    for (int ii = 1; ii <= k; ii++) 
    {
        for (j = 1; j <= k; j++)
        {
            z[ii + j - 1] += (x[j] * y[ii] + up) % 10;
            up = (x[j] * y[ii] + up) / 10;
        }
        up = 0;
    }
    for (int ii = 1; ii <= k; ii++) {//进位
        z[ii + 1] += z[ii] / 10;
        z[ii] %= 10;
    }
}
void multiplyl(int x[], int yy, int z[]) 
{//高精度低乘
    int up = 0;
    for (int ii = 1; ii <= k; ii++) 
    {
        z[ii] = (x[ii] * yy + up) % 10;
        up = (x[ii] * yy + up) / 10;
    }
}
int main()
{
    //scanf("%d%d", &m, &k);
    init();
    cin >> s;
    cin >> k;
    int temp = 0, len = s.size();
    for (i = len - 1; i >= len - k; i--)
        n[++temp] = s[i] - '0';
    int tmp = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) ans[i] = n[i];
    for (int i = 1; i < single_j[n[1]]; i++) 
    {
        memset(aans, 0, sizeof aans);
        multiplyh(ans, n, aans);
        for (int j = 1; j <= k; j++) { ans[j] = aans[j]; }//更新为第一次出现末尾循环节的状态
    }
    t[1] = single_j[n[1]];//最低位的循环结
    for (int i = 1; i <= k; i++) now[i] = ans[i];
    int pos = 2;//当前倒数位数
    while (pos <= k) 
    {
        for (int j = 1; j <= k; j++) 
        {
            ans[j] = n[j];
            last[j] = now[j];
        }
        tmp = 0;
        while (tmp < 11)
        {
            tmp++;
            memset(aans, 0, sizeof aans);
            multiplyh(ans, now, aans);
            for (j = 1; j <= k; j++) 
            {
                ans[j] = aans[j];
            }
            if (ans[pos] == n[pos]) break;//找到循环结
            memset(aans, 0, sizeof(aans));
            multiplyh(last, now, aans);//更新last
            for (j = 1; j <= k; j++) last[j] = aans[j];
        }
        if (tmp >= 11) { cout << -1; return 0; }
        for (int j = 1; j <= k; j++) now[j] = last[j];
        memset(aans, 0, sizeof aans);
        multiplyl(t, tmp, aans);//更新循环节数组
        for (int i = 1; i <= 100; i++)  t[i] = aans[i];
        pos++;
    }
    int flag = 0;//不输出前导0
    for (int i = 100; i >= 1; i--) 
    {
        if (t[i]) flag = 1;
        if (flag) cout << t[i];
    }
    return 0;
}