扩展KMP模板（学习）

学习链接：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P5410

一、引言

一个算是冷门的算法（在竞赛上），不过其算法思想值得深究。

二、前置知识

1. kmp的算法思想，具体可以参考这篇日报。

2. trie树（字典树）。

三、经典扩展kmp模板问题：

扩展kmp的模板问题：

给你两个字符串s,t，长度分别为n,m。

请输出s的每一个后缀与t的最长公共前缀。

哈希是不可能的，这辈子都不可能的。

mathcal{AC}AC自动机？好像更不可做了。

我们先定义一个：extend[i]extend[i]表示S[i...n]S[i...n]与TT的最长公共前缀长度，而题意就是让你求所有的extend[i]extend[i]。

注：以下字符串均从1开始计位。

例子：

如果S=aaaaaaaaaabaaS=aaaaaaaaaabaa，n=13n=13

T=aaaaaaaaaaaT=aaaaaaaaaaa，m=11m=11

由图可知，extend[1]=10extend[1]=10、extend[2]=9extend[2]=9。

我们会发现：在求extend[2]extend[2]时，我们耗费了很多时间，但我们可以利用extend[1]extend[1]来更快速地求解：

因为已经计算出extend[1]=10extend[1]=10。

所以有：S[1...10]=T[1...10]S[1...10]=T[1...10]

然后得：S[2...10]=T[2...10]S[2...10]=T[2...10]

因为计算extend[2]extend[2]时，实际上是S[2...n]S[2...n]和TT的匹配，

又因为刚刚求出了S[2...10]=T[2...10]S[2...10]=T[2...10]，

所以匹配的开头阶段是求T[2...10]T[2...10]与TT的匹配。

这时我们可以设置辅助参数：nextnext，next[i]next[i]表示T[i,m]T[i,m]与TT的最长公共前缀长度。

那么对于上述的例子：next[2]=10next[2]=10

即：T[2...11]=T[1...10]T[2...11]=T[1...10]

然后得：T[2...10]=T[1...9]T[2...10]=T[1...9]

∴S[2...10]=T[2...10]=T[1...9]∴S[2...10]=T[2...10]=T[1...9]

也就是说求extend[2]extend[2]的匹配的前9位已经匹配成功了，不用再匹配一遍了，可以直接从S[11]S[11]和T[10]T[10]开始匹配，这样我们就省下了很多时间。

这其实就是kmp的思想。

对于一般情况：

设extend[1...k]extend[1...k]已经算好，并且在以前的匹配过程中在S串中的最远位置是pp，即p=max(i+extend[i]-1)p=max(i+extend[i]−1)，其中i=1...ki=1...k。

然后我们设取这个最大值k的位置是p0p0。

首先，根据定义，S[p0...p]=T[1...p-p0+1]S[p0...p]=T[1...p−p0+1]。

我们设T[k-p0+1]T[k−p0+1]在TT串中对应的位置为aa，T[k-p0+2]T[k−p0+2]在TT串中所对应的位置为bb。（仅仅是为了下面的讲解方便）

然后令L=next[b]L=next[b]。

下面分两种情况讨论：

第一种情况：k+L<pk+L<p

也就是S[k+L]S[k+L]这个位置在pp前面，如图：

我们设l1=1l1=1，r1=Lr1=L，l2=bl2=b，r2=b+L-1r2=b+L−1。（bb的定义在上一张图）

此时l1l1、r1r1、l2l2、r2r2的位置如图所示。

也就是说，T[l1...r1]=T[l2...r2]T[l1...r1]=T[l2...r2]。

即color{red}{ ext{红线}}红线与color{green}{ ext{绿线}}绿线与color{blue}{ ext{蓝线}}蓝线相等。

然后由nextnext的定义可知，T[r1+1]!=T[r2+1]T[r1+1]!=T[r2+1]。

又因为T[r2+1]=S[k+L+1]T[r2+1]=S[k+L+1]

所以T[r1+1]!=S[k+L+1]T[r1+1]!=S[k+L+1]，这两个字符不一样。

又因为color{red}{ ext{红线}}红线与color{blue}{ ext{蓝线}}蓝线相等，这两条线已经匹配成功。

所以extend[k+1]=Lextend[k+1]=L，也就是next[b]next[b]。

所以这段的代码比较简单：

if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0)extend[i]=nxt[i-p0];
//i相当于k+1
//nxt[i-p0]相当于L
//extend[p0]+p0相当于p
//因为在代码里我是从0开始记字符串的，所以本应在小于号左侧减1，现在不用了。

第二种情况：k+L>=pk+L>=p

也就是S[k+L]S[k+L]这个位置在p前面，如图：

图可能略丑

同样，我们设l1=1l1=1，r1=Lr1=L，l2=bl2=b，r2=b+L-1r2=b+L−1。

此时l1l1、r1r1、l2l2、r2r2的位置如图所示。（r1r1的位置可能在p-p0+1p−p0+1前或后）

同理，color{red}{ ext{红线}}红线与color{green}{ ext{绿线}}绿线与color{blue}{ ext{蓝线}}蓝线相等。

那么我们设(k+L)(k+L)到pp的这段距离为xx。

那么S[k+1...(k+L)-x+1]=S[k+1...p]S[k+1...(k+L)−x+1]=S[k+1...p]。

又因为：

T[l1...r1-x+1]=T[l2...r2-x+1]=S[k+1...(k+L)-x+1]T[l1...r1−x+1]=T[l2...r2−x+1]=S[k+1...(k+L)−x+1]

即color{blue}{ ext{S1}}color{black}{=}color{red}{ ext{S2}}color{black}{=}color{green}{ ext{S3}}S1=S2=S3。

所以T[l1...r1-x+1]=S[k+1...p]T[l1...r1−x+1]=S[k+1...p]，

也就是说T[1...r1-x+1]=S[k+1...p]T[1...r1−x+1]=S[k+1...p]，这一段已经匹配成功了。

即color{blue}{ ext{S1}}S1与color{red}{ ext{S2}}S2是相等的，已经匹配成功了。

那么我们就可以从S[p+1]S[p+1]和T[r1-x+2]T[r1−x+2]开始暴力匹配了，无需再考虑前面的东西。

那么这段的代码长这样：

int now=extend[p0]+p0-i;
now=max(now,0);//这里是防止i>p
while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size())now++;//暴力求解的过程
extend[i]=now;
p0=i;//更新p0

求nextnext

求extendextend的大部分过程已经完成了，现在就剩怎么求nextnext了，我们先摸清一下求nextnext的本质：

求T的每一个后缀与T的最长公共前缀长度

听起来好熟悉，我们再看一下题面：

求S的每一个后缀与T的最长公共前缀长度

我们发现求nextnext的本质和求extendextend的本质是一样的，所以我们直接复制重新打一遍就好了。

这其实和kmpkmp的思想很相似，因为kmpkmp也是自己匹配一遍自己，再匹配文本串。

要注意的一点是：求nextnext时我们要从第2位（也就是代码中的第1位）开始暴力，这样能防止求nextnext时引用自己nextnext值的情况。

时间复杂度

因为求nextnext的时间复杂度是O(m)O(m)，求extendextend的时间复杂度是O(n)O(n)，所以总时间复杂度：O(n+m)O(n+m)，即SS串与TT串的长度之和。

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P5410

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
string s,t;
int q,nxt[maxn],extend[maxn];
void getnxt()
{
    nxt[0]=t.size();//nxt[0]一定是T的长度
    int now=0;
    while(t[now]==t[now+1]&&now+1<(int)t.size()) now++;
    nxt[1]=now;
    int p0=1;
    for(int i=2;i<(int)t.size();i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0]<nxt[p0]+p0) nxt[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
        else//第二种情况
        {
            now=nxt[p0]+p0-i;
            now=max(now,0);//这里是防止i>p的情况
            while(t[now]==t[i+now]&&i+now<(int)t.size()) now++;
            nxt[i]=now;
            p0=i;//更新p0
        }
    }
}
void exkmp()
{
    getnxt();
    int now=0;
    while(s[now]==t[now] && now<min((int)s.size(),(int)t.size())) now++;
    extend[0]=now;
    int p0=0;
    for(int i=1;i<(int)s.size();i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0) extend[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
        else//第二种情况
        {
            now=extend[p0]+p0-i;
            now=max(now,0);
            while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size()) now++;
            extend[i]=now;
            p0=i;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>s>>t;
    exkmp();
    int len=t.size();
    for(int i=0;i<len;i++) printf("%d ",nxt[i]);
    printf("
");
    len=s.size();
    for(int i=0;i<len;i++) printf("%d ",extend[i]);
    printf("
");
    return 0;
}