CF1292F Nora's Toy Boxes详细の题解

题面
啊，虽然昨晚被所有人爆踩了，但是在烦了广东队长一晚上后(俟其欣悦，俯身倾耳以请)
卒获有所闻(虽然还是有不少东西不懂，望指出)
首先把题目条件转变一下，把(a_{i}|a_{j})视为(i)向(j)连边，然后我们就构建出了一个(DAG)
于是题目就变成了每次在(DAG)上删一个合法的点，问将每个弱连通块删的只剩2个点的方案数(毕竟题目要求了三个点中删一个点，所以最后剩两个)
那么答案就是每个连通块内答案的乘积
然而并没有办法直接计算删点方案数，所以考虑如何加点
我们留意到，在每个连通块内其实只有两种点：有可能被删的点，和绝对不会被删的点(可以看做根节点)

如图，黑色点删不了
而红色点无论在第几层都没啥区别(针对许多dp成瘾的小伙伴，这里不需要分层dp)
设所有黑色点为集合(S)，所有红色点集合为(T)
口胡一个状态：(dp_{s,t})，(t)是我们已添加的点的集合，(s)则是所有与(t)中的点有连接的，且在(S)中的点的集合,所以

[dp_{s,t}=sum{dp_{s',t'}} ]

但是状态太多，直接爆炸，所以考虑把(t)改成其他东西，就改成已添加的点数好了
口胡一个方程

[dp{s,t}=sum{dp_{s',t-1}} ]

看似正确
实际上这个方程会重复统计，设对于一个点，所有与他有连接且在(S)内的点的集合为(pi)
若(pi)属于(s)，那么在dp过程中，就会记重，比如

我们沿用上面(s,t)的状态解释，若(s)={1,2}，(t)={4,5}，当我们用这种状态，显然我们只会添加(3)
但是新的状态才不会管你这么多，(4,5)照样有可能被添加，那么我们就记重了
于是怎么办，若(pi)属于(s)，那么设(s)下面挂着的节点个数是(cs)个
所以在(dp_{s',t})的基础上，我们新添加一个点有(cs-t)种选择
所以总结下方程

[if(cs>t)dp_{s,t+1}=sum{dp_{s,t}*(cs-t)} ]

[if(cs<t)dp_{s|pi,t+1}=sum{dp_{s,t}} ]

最后累乘的时候还要考虑一个问题，若一个序列长度为(x)另一个为(y)，两个序列是可以交叉的
所以还要乘上组合数(C_{x+y}^{x})，来统计交叉的情况，实际写下来就是(C_{sum{len}+x}^{x})
光说可能还是很玄幻，可以看代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define P peach//纯属好玩 
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
ll n,m,a[401],f[1<<15][71],g[1<<15],fa[10001],in[1001],c[201][201];
ll peach[1<<15],ans=1,hd=0;
vector<ll>vec[101],Vec;

ll g_fa(ll x){//不需要分层，于是并查集很香 
	if(fa[x]==x)return x;
	else return g_fa(fa[x]);
}

int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	sort(1+a,1+a+n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=i+1;j<=n;j++){
			if(a[j]%a[i]==0){
				ll t1=g_fa(i),t2=g_fa(j);
				in[j]++;
				if(t1!=t2)fa[t2]=t1;
			}
		}
	}
	c[0][0]=c[0][1]=c[1][1]=1;
	for(ll i=2;i<=2*n;i++){
		c[0][i]=1;
		for(ll j=1;j<=i;j++)c[j][i]=(c[j-1][i-1]+c[j][i-1])%mod;
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		vec[g_fa(i)].push_back(i);
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		if(vec[i].size()>1){
			Vec.clear();
			for(ll j=0;j<vec[i].size();j++){
				if(in[vec[i][j]]==0)Vec.push_back(vec[i][j]);
			}
			ll N=1<<Vec.size(),cnt=0;
			memset(g,0,sizeof g),memset(f,0,sizeof f);
			for(ll j=0;j<vec[i].size();j++){
				if(in[vec[i][j]]){
					cnt++;
					for(ll k=0;k<Vec.size();k++){
						if(a[vec[i][j]]%a[Vec[k]]==0)P[vec[i][j]]|=1<<k;
					}
					g[P[vec[i][j]]]++;
				}
			}
			for(ll j=0;j<Vec.size();j++){
				for(ll k=0;k<N;k++){
					if(k>>j&1)g[k]+=g[k-(1<<j)];
				}
			}
			f[0][0]=1;
			for(ll j=0;j<N;j++){
				for(ll k=0;k<=cnt;k++){
					if(f[j][k]){
						if(k<g[j])f[j][k+1]=(f[j][k+1]+f[j][k]*(g[j]-k)%mod)%mod;
						for(ll p:vec[i]){
							if(in[p]&&((P[p]&j)!=P[p])&&((P[p]&j)||j==0)){
								f[j|P[p]][k+1]=(f[j|P[p]][k+1]+f[j][k])%mod;
							}
						}
					}
				}
			}
			ans=ans*f[N-1][cnt]%mod*c[cnt-1][hd+cnt-1]%mod;
			hd+=cnt-1;
		}
	}
	cout<<ans;
}