逆序数介绍以及算法实现浅析

前言

线性代数中对于一段数字序列的排列情况有这样一个定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。也就是说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。(摘自 百度百科)

对于逆序数通俗的理解：对于序列中每个位置的的数，其之前比他的值大的个数之和，或者在其之后比他的值小的个数之和，如此称为逆序数。

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实现

实现手段：线段树、树状数组、离散化、归并排序、枚举

• 我们容易根据逆序数的理解写出O(n^2)的模拟算法，是一个普通冒泡排序类似物：

int ans = 0;  //逆序数个数
int num[maxn];
for (int i = 1; i < n; i++) {
	for (int j = n - i; j > 0; j--) {
		if (num[j + 1] < num[j]) {
			swap(num[j + 1], num[j]);
			ans++;	
		}
	}
}

• 如果当一段数字集中在某个范围中，还可以利用hash的特性，复杂度O(n*num(max))，但这个仍然是个暴力算法:

#include <iostream>
using namespace std;
int  a[100005];//存储有多少比它大的数字在它之前
int main()
{
    int n, m, i, j, k;
    cin >> n;
    long long int sum = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &m);
        sum = sum + a[m];// 有多少比它大的数字在他之前，就要加上多少组
        for (j = 0; j<m; j++)//在它之前的数字都+1
        {
            a[j]++;
        }
    }
    cout << sum << endl;
}

• 上面那步的思想其实就是每次将数字压入数据集时，查询比当前数字排名来得大得数字数量，这个数字就是当前下标数字得逆序数。但是这个写法不足地方有两点：1，数据分散时空间复杂度高；2，每次都要执行一个O(num)大小的前缀操作。我们这是就可以利用线段树，树状数组的树形结构将前缀操作以及查询操作都均摊到O(logn)级别，从而提高效率。

细节

关于sum的含义是求得1~idx下标得前缀和，在这里根据方法2得思路就是rank <= idx的前缀数量，这里就要利用到一点容斥的思想：我们的目标是考虑当前有多少个比当前数排名大的数，当前全集为i,rank <= idx的数量为sum(idx)，则当前 rank > idx 的数量为i-sum(idx)。其实c维护的就是rank的数量。举例：{7,4,3,8,6}

观察C数组的变化

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,c[100010];
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int k,int num)
{
    while(k<=n)
    {
        c[k]+=num;
        k+=lowbit(k);
    }
}

int query(int k)
{
    int sum=0;
    while(k)
    {
        sum+=c[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return sum;
}
typedef struct nodee
{
    int x,i;
}node;
node maze[100010];
bool cmp(node u,node v)
{
	if(u.x==v.x)
		return u.i>v.i;
	return u.x<v.x;
}
int b[100010];

int main(void)
{
    int i,j,x,y;

    while(~scanf("%d",&n))
    {
        ll sum = 0;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&maze[i].x);
            maze[i].i = i;
        }
        sort(maze+1,maze+1+n,cmp);

        int cnt = 1;
        for(i=1;i<=n;i++){
            if(i!=1&&maze[i].x!=maze[i-1].x)
                cnt++;
            b[maze[i].i] = cnt;
        }

        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            add(b[i],1);
            ll tmp = (i-query(b[i]));
            sum += tmp;
            cout << "
逆序数 = " << tmp << "  排名 = " << b[i] << '
';
            cout << "C数组：
";
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
							cout << c[j] << " ";
						}
        }
        printf("

排列的逆序数为 = %lld
",sum);
    }
    return 0;
}

• 对于逆序数还有归并排序的求法，注意归并排序是稳定的排序算法，写法有细节要注意。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn = (int)1e5+5;
typedef long long ll;
typedef double db;
typedef long double ldb;

int val[maxn],tmp[maxn];
ll cnt;

void Merge (int l, int m, int r) {
	int i = l;
	int j = m + 1;
	int k = l;
	//归并排序为稳定排序，稳定的关键是mid后面那部分只有在小于前面的时候才往前提，相等不提!!!
	while (i <= m && j <= r) {
		if (val[i] > val[j]) {
			cnt += j-k; // 每当后段的数组元素提前时，记录提前的距离
			tmp[k++] = val[j++];
		}else {
			tmp[k++] = val[i++];
		}
	}
	
	while (i <= m) {
		tmp[k++] = val[i++];
	}
	while (j <= r) {
		tmp[k++] = val[j++];
	}
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		val[i] = tmp[i];
	}
}

void MergeSort(int l, int r) {
	if (l < r) {
		int mid = l + ((r - l) >> 1);
		MergeSort(l, mid);
		MergeSort(mid + 1, r);
		Merge(l, mid, r);
	}
	return ;
}


int main() {
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> val[i];
	}
	cnt = 0;
	MergeSort(1, n);
	cout << cnt << '
';
	return 0;
}