1的数目
题目:给定一个十进制正整数N，写下从1开始,到N的所有整数，然后数一下其中出现所有“1”的个数。
例如：
N=2，写下1~2。这样只出现了1个“1”。
N=12，我们会写下1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，这样，1的个数是5。
问题是：
1.写一个函数F(N)，返回1到N之间出现的“1”的个数，比如F(12)=5;
2.满足条件“F(N)=N”的最大的N是多少?
我们就先来看看问题1的解法吧；
问题一,解法1：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 int f(int n)
4 {
5 int sum=0;
6 while(n!=0)
7 {
8 sum+=(n%10==1)?1:0;
9 n/=10;
10 }
11 return sum;
12 }
13 int fun(int N)
14 {
15 int count=0;
16 for(int i = 1;i <= N; ++i)
17 {
18 count+=f(i);
19 }
20 return count;
21
22 }
23 int main()
24 {
25 const int N=2;
26 const int M=12;
27 cout << fun(N) <<endl;
28 cout << fun(M) <<endl;
29 return 0;
30 }
问题一，解法2：
#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int N)
{
int count=0,k;
for(int i = 1;i <= N; ++i)
{ k=i;
while(k!=0)
{
if(k%10==1) count++;
k/=10;
}
}
return count;
}
int main()
{
const int N=2;
const int M=12;
cout << fun(N) <<endl;
cout << fun(M) <<endl;
return 0;
}
其实这2种解法的思路都差不多，就是写法有点不同，解法一是书上的写法，解法2是我我自己写的，大家觉得那种好理解就理解那种吧，但是这个算法的致命的是代码的效率和复杂度
但是我们有没有考虑过如果N为1个亿的数呢。如果我们采用上面的程序来计算的话大概需要40秒的时间才能计算出来，随着数的不断增加而计算效率就越来越低了。
那么我们能不能找个更快的方法来解决这个问题呢？要提高效率我们不能用这种遍历的方法，要采用另外一种思路，
下面我们来继续分析下这个思路，我们直接来看三个重点
个位数1的个数 规律:
- 如果N的个位数大于等于1，那么个位数出现1的个数是十位数+1;
- 如果N的个位数为0，那么个位数出现1的个数为十位数的数字;
整数 1的个数 1的列举
5 1 1
15 2 1，11
25 3 1，11，21
35 4 1，11，21，31
十位数1的个数 规律
- 如果N的十位数等于1，那么十位数出现1的个数是个位数+1;
- 如果N的十位数大于1，那么十位数出现1的个数为10;
整数 1的个数 1的列举
25 10 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
35 10 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
95 10 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19
125 20 10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，110，111，112，...,118，119
725 80 10-19,110-119,210-219,310-319,410-419,510-519,610-619,710-719
3225 330 10-19,20-29,...510-519,610-619,...1010-1019,1110-1119,1210-1219,...,3110-3119,3210-3219
百位数1的个数 规律
如果百位上的数字为0，则可以知道，百位上可能出现1的次数由更高位决定，比如12 013，则可以知道百位出现1的情况可能是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共有1 200个。也就是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）×当前位数（100）。
如果百位上的数字为1，则可以知道，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于12 113，受更高位影响，百位出现1的情况是100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100~11 199，一共1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字（12）×当前位数（100）。但是它还受低位影响，百位出现1的情况是12 100～12 113，一共114个，等于低位数字（123）+1。
如果百位上数字大于1（即为2~9），则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如12 213，则百位出现1的可能性为：100～199，1 100～1 199，2 100～2 199，…，11 100～11 199，12 100～12 199，一共有1 300个，并且等于更高位数字+1（12+1）×当前位数（100）。
通过上面的分析和总结 我们可以写出如下代码:
1 LONGLONG Sum1s(ULONGLONG n) 2 3 { 4 5 ULONGLONG iCount = 0; 6 7 8 ULONGLONG iFactor = 1; 9 10 11 ULONGLONG iLowerNum = 0; 12 13 ULONGLONG iCurrNum = 0; 14 15 ULONGLONG iHigherNum = 0; 16 17 18 while(n / iFactor != 0) 19 20 { 21 22 iLowerNum = n - (n / iFactor) * iFactor; 23 24 iCurrNum = (n / iFactor) % 10; 25 26 iHigherNum = n / (iFactor * 10); 27 28 29 switch(iCurrNum) 30 31 { 32 33 case 0: 34 35 iCount += iHigherNum * iFactor; 36 37 break; 38 39 case 1: 40 41 iCount += iHigherNum * iFactor + iLowerNum + 1; 42 43 break; 44 45 default: 46 47 iCount += (iHigherNum + 1) * iFactor; 48 49 break; 50 51 } 52 53 54 iFactor *= 10; 55 56 } 57 58 59 return iCount; 60 61 62 }
这个方法只要分析N就可以得到f（N），避开了从1到N的遍历，输入长度为Len的数字N的时间复杂度为O（Len），即为O（ln（n）/ln（10）+1）。在笔者的计算机上，计算N=100 000 000，相对于第一种方法的40秒时间，这种算法不到1毫秒就可以返回结果，速度至少提高了40 000倍。
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