明明没参加过却因为点进去结果狂掉(rating)……
(A) 集合
如果我们记
[f_k=sum_{i=1}^nT^i{n-ichoose k}
]
那么答案显然就是(f_{k-1})
然后就可以开始推倒了
[egin{aligned}
f_k
&=sum_{i=1}^nT^i{n-ichoose k}\
&=sum_{i=1}^nT^i{n-i-1choose k}+sum_{i=1}^nT^i{n-i-1choose k-1}\
&={1over T}sum_{i=2}^nT^i{n-ichoose k}+{1over T}sum_{i=2}^nT^i{n-ichoose k-1}\
&={1over T}left(f_k-T{n-1choose k}+f_{k-1}-T{n-1choose k-1}
ight)\
&={1over T}left(f_k+f_{k-1}-T{nchoose k}
ight)\
end{aligned}
]
然后整理一下就可以得到
[f_k={f_{k-1}-T{nchoose k}over T-1}
]
边界条件为(f_0)，显然是个等比数列求和的形式，为
[f_0={T(1-T^n)over 1-T}
]
直接递推就行了
顺便注意如果(T=1)那么答案显然是(1)
//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=1e7+5,P=998244353;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
R int res=1;
for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;
return res;
}
int inv[N],f[N],res,n,k,T,iv;
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);
scanf("%d%d%d",&n,&k,&T);
inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,k)inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);
if(T==1)return puts("1"),0;
res=1,iv=ksm(T-1,P-2),f[0]=1ll*T*(P-iv)%P*(P+1-ksm(T,n))%P;
fp(i,1,k){
res=1ll*res*inv[i]%P*(n-i+1)%P,
f[i]=mul(dec(f[i-1],mul(T,res)),iv);
}
res=ksm(res,P-2);
printf("%d
",mul(f[k-1],res));
return 0;
}
(B) 染色
点分是个啥我好像已经给忘了……
要求所有同色点对距离的最小值介于 ([L,R]) 之间，我们可以用最小值大于等于(L)的答案减去最小值大于等于(R+1)的答案
那么考虑形如最小值大于等于(k+1)的答案怎么算，这个的意思就是要求对于(u)来说，所有到它的距离小于等于(k)的点的颜色要和它不同
首先有一个结论：如果我们按(BFS)序加入点，设当前加入的点为(u)，且对另外两个已经加入的点(x,y)，满足(dis(u,x)leq k)且(dis(u,y)leq k)，则有(dis(x,y)leq k)
证明：如果(u)到(x,y)的两条路径上没有分叉点，那么显然成立
如果有分叉点，我们记分叉点为(w)，那么显然(x,y)中有一个点是在(w)的子树里的，不妨假设它为(x)。因为是按(BFS)序加入，所以(x)的深度小于(u)，那么(dis(x,w)leq dis(u,w))，所以(dis(x,y)leq dis(u,y)leq k)
那么我们按(BFS)序加入点，对于每个点(u)，要满足所有和它距离不超过(k)的点的颜色互不相同，它的颜色也和它们不同
假设和它距离不超过(k)的点有(s)个，那么显然它的方案数就是(m-s)，其中(m)为颜色总数
所以要怎么求和它距离不超过(k)的点的个数呢……点分树就可以了……点分树怎么写我已经忘光了所以请看代码自行理解
//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
R int res,f=1;R char ch;
while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
return res*f;
}
const int N=2e5+5,M=4e6+5,L=5e7+5,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
struct eg{int v,nx;}e[N<<1];int head[N],tot;
inline void Add(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;}
int pool[L],*p=pool;
struct Bit{
int n,*c;
inline void upd(R int x){for(;x<=n;x+=x&-x)++c[x];}
inline int query(R int x){int res=0;cmin(x,n);for(;x;x-=x&-x)res+=c[x];return res;}
}f[M];int cur;
struct Eg{int nx,dis,sgn;Bit *bi;}E[M];int Head[N],tc;
int sz[N],mx[N],dep[N],vis[N],q[N],fa[N];
int size,rt,n,m,l,r,res1,res2;
void findrt(int u,int fa){
sz[u]=1,mx[u]=0;
go(u)if(v!=fa&&!vis[v])findrt(v,u),sz[u]+=sz[v],cmax(mx[u],sz[v]);
cmax(mx[u],size-sz[u]);
if(mx[u]<mx[rt])rt=u;
}
void dfs(int u,int sgn,int d){
int h=1,t=0;
dep[u]=d,fa[u]=0,q[++t]=u;
while(h<=t){
u=q[h++];
go(u)if(!vis[v]&&v!=fa[u])q[++t]=v,fa[v]=u,dep[v]=dep[u]+1;
E[++tc]={Head[u],dep[u],sgn,&f[cur]},Head[u]=tc;
}
f[cur].c=p,f[cur].n=dep[q[t]]+1,p+=f[cur++].n;
}
void solve(int u){
vis[u]=1;dfs(u,1,0);
int s=size;
go(u)if(!vis[v]){
dfs(v,-1,1);
rt=0,size=(sz[v]<sz[u])?sz[v]:s-sz[u],findrt(v,u);
solve(rt);
}
}
int main(){
// freopen("testdata.in","r",stdin);
n=read(),m=read(),l=read(),r=read();
for(R int i=1,u,v;i<n;++i)u=read(),v=read(),Add(u,v),Add(v,u);
mx[0]=n+1,rt=0,size=n,findrt(1,0),solve(rt);
res1=res2=1,memset(vis,0,4*(n+1));
int h=1,t=0;q[++t]=1,vis[1]=1;
while(h<=t){
int u=q[h++],s1=0,s2=0;
for(int i=Head[u];i;i=E[i].nx){
if(E[i].dis<l)s1+=E[i].bi->query(l-E[i].dis)*E[i].sgn;
if(E[i].dis<r+1)s2+=E[i].bi->query(r+1-E[i].dis)*E[i].sgn;
E[i].bi->upd(E[i].dis+1);
}
res1=mul(res1,m-s1),res2=mul(res2,m-s2);
go(u)if(!vis[v])q[++t]=v,vis[v]=1;
}
printf("%d
",dec(res1,res2));
return 0;
}
(C) 高尔夫
听说这是个数据结构题而且(std)有(5kb)
算了咕咕了