1. 如果E和F是一次试验中的两个互不相容事件，那么在独立重复试验时，E发生在F之前的概率为：
p ＝ P(E) / [P(E) + P(F)]
证明1：
若E在F前，那么第一次试验要么为E（于是已可确定E在F前），要么非E非F，而不可能是F。于是：
p ＝ P(E) ＋ p(1-P(E)-P(F))
证明2：
若E在F前，那么第一次发生E之时，F还没有发生。或者说，第一次发生E之前的所有事件都是非E非F。于是：
p=Σ(k)(1-P(E)-P(F))kP(E)，k≥0。
2. 两个赌徒相约若干局，谁先赢了S局则赢。若甲赢a(a<s)局，乙赢b(b<s)局，那么最多还要赌(s-a)+(s-b)-1局。
解释：甲还要赢s-a局，乙还要赢s-b局；
最小情况下，只需赢得多的那个人（甲或乙）再赢s-a或s-b局；
最大情况下，两人分别又赢了s-a-1和s-b-1局，此时再赌一局即可。于是最多总共再赌(s-a-1)+(s-b-1)+1=(s-a)+(s-b)-1局。
3. 假设在独立重复试验中，每次成功概率为p，失败概率1-p，在m次失败之前有n次成功的概率有多大？
或者，用赌徒问题来描述就是：甲赢一局的概率为p，乙赢一局的概率为1-p，甲先赢n局则甲赢，乙先赢m局则乙赢，甲赢的概率是多大？
令事件A为“在m次失败之前有n次成功”（或者，甲赢得赌局），
首先考察第一次试验，有两种结果：成功，概率p；失败，概率1-p。
若第一次成功，那么后续试验需要在m次失败之前有n-1次成功；
若第一次失败，那么后续试验需要在m-1次失败之前有n次成功。
上述两种情况互斥且完备。
因此Pn,m=pPn-1,m+(1-p)Pn,m-1
Pn,m表示m次失败前有n次成功（或者说甲赢得赌局）。
P0,m=1（甲不需赌即赢）；Pn,0＝0（乙不需赌即赢，甲不可能赢）
这是一个递推等式，不去管怎么解了。
4. 若X在(α，β)上服从均匀分布，那么E[X]=(β＋α)/2，Var(X)=(β－α)2/12
均匀分布的概率密度函数在取值非0区间是个常数：1/(β－α)
5. 正态分布(μ，σ2)的数学期望为μ，方差为σ2。
6. 对于随机变量的函数的概率密度，例如已知(x,y)的概率密度想求g(x,y)的概率密度，
一般的做法是利用Fg(x,y)(a)=P(g(x,y)<a)，将g(x,y)代入后求出其分布，然后求导。
即，不是直接求概率密度，而是先求概率分布。
7. 配对问题：有N个人，他们各自的帽子混在一起，每人随机拿一顶，所有人都没有拿到自己的帽子的概率是多大？
直观上，“所有人都没有拿到自己的帽子”的互斥事件是“有人拿到了自己的帽子”。
但更符合概率论的说法是，“至少有一个人拿到了自己的帽子”。
记Ei为“第i人拿到了自己的帽子”，那么“至少有一个人拿到了自己的帽子”的概率就是：
P(E1+E2+...+En) = ΣP(Ei)-ΣP(EiEj)+ΣP(EiEjEk)-...+... ......
8. N个人坐成一圈，有多少种坐法？
N!/N=(N-1)!
9. 方程x1+x2+...+xr=n的正整数解个数为(n-1, r-1)
非负整数解个数为(n+r-1, r-1)
解释：
1) 正整数解可想象为将n个球分为r组，每组都不空。
分组方法是将n个球排成一排，在n-1个空隙中选取r-1个，这样就将n个球分成了非空的r组。
2) 方程∑xr=n的非负整数解个数等于方程∑yr=n+r的正整数解个数（令yi=xi+1，xi非负，yi必为正）。
3) 上面的思路可用于解更复杂些的方程解个数问题。例如要求每个x≥2，这时我们可令yi=xi-1。
10. 乘法规则
P(E1E2...En)=P(E1)P(E2|E1)P(E3|E1E2)...P(En|E1...En-1)
解释：
P(E1)P(E2|E1)=P(E1E2)
P(E1E2)P(E3|E1E2)=P(E1E2E3)
...
11. 如果E和F独立，那么E和Fc也独立。
解释：若E和F独立，那么不管F是否发生，E发生的概率是不变的。
12. 如果E、F、G三事件独立，那么E与F和G的任意组合事件也是独立的。
13. 一类赌徒问题的分析过程
有很多赌徒问题是这样的：刚开始A有M元，B有N元，每局A赢的概率为p，B赢的概率为1-p，输方给赢方1元，求最终A或B赢得对方全部钱的概率。
分析过程如下：
若第一局A赢，则A有M+1元，B有N-1元；
若第一局B赢，则A有M-1元，B有N+1元。
若PM为A有M元并最终赢得所有钱的概率，那么：
PM=pPM+1+(1-p)PM-1
根据边界条件(M=0或N=0)可以解出该递推方程。
此处P实际上是M的函数。
14. P(E1|F)=P(E1E2|F)+P(E1E2c|F)
=P(E1|E2F)P(E2|F)+P(E1|E2cF)P(E2c|F)
15. C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)
解释：假设n个元素中有1个特殊的，那么取出的r个元素中可能包含或不包含该特殊元素。
等号右边即：包含该特殊元素的取法＋不包含该元素的取法。
16. (x+y)n=∑C(n,r)xryn-r
17. ∑C(n,r)=2n (C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2n)
18. 分堆问题
[以下叙述并不严谨；请参考另一篇blog：分堆问题]
分堆问题有两类，一类是不计较顺序（“顺序”指堆的顺序，不是堆内元素的顺序）的分堆，例如10个人分A,B两队（堆）打比赛；
一类是计较顺序的分堆，例如10个人分A,B两队，一队扫地，一队擦窗户。
计较顺序的分堆方法为n!/(n1!n2!...nr!)
不计较分堆顺序的方法还要考虑有没有相同元素数目的堆。例如n1,n2元素数目相同；n3,n4,n5元素数目相同。
此时上面的式子还要除以2!3!
19. (x1+x2...+xr)n=∑n!/(n1!n2!...nr!)x1n1x2n2...xrnr
20. n个球中有一个标记球，放回或不放回取出k个，标记球被取出的概率都是k/n
(这个解释貌似有问题：若放回取出数k>n，取出概率是多少？)
放回情况不解释；对于不放回情况：
直观解释：根据对称性，任何一个球第i次（1≤i≤k）被取出的概率Pi应该是一样的，根据对称性Pi=1/n。
另一种解释：设想将这n个球进行全排列，不放回情况下就是取排列好的n个球的前k个。球在n个位置中的任一个出现的概率是一样的。
第三种解释：不放回情况和一次性取出k个的情况是一样的。
21. 一般来说，样本均值用Xbar表示，总体均值用μ表示。
22. 假定一个试验有n个可能结果E1...En，每次试验的结果是独立的，要注意单次试验中出现Ex或Ey是互斥而不是独立。
23. 多维随机变量要求取值区间是一个区域。例如二维随机变量，取值区间必须是二维平面上的一个有面积区域，而不能是一根线（比如像X2=X1这样，（X1，X2）就不是二维随机变量）。同理，三维随机变量的取值区间必须是一个有体积区域。
24. M=max(X1,X2)的概率分布：
设为F(M≤m)，即F(max(X1,X2)≤m)
[max(X1,X2)≤m] ==> [X1≤m, X2≤m]
[X1≤m, X2≤m] ==> [max(X1,X2)≤m]
即，max(X1,X2)≤m等价于X1≤m, X2≤m
25. 卷积
设Z=X+Y，为了让随机变量的和等于Z，当其中一个取值为x的时候，另一个必须取值为z-x。于是得到卷积式的两个随机变量。
26. Z=XY的概率分布
当其中一个取值为x，为了让积为z，另一个必须取值为z/x。
然后回忆下信号变换x[t]->x[2t]代表时间轴压缩，x[t]->x[t/2]代表时间轴扩展，为了让积分面积不变，被积分式需除以|x|。
27. Z=X/Y的概率分布
同上分析。
28. 随机变量用于将“Event”映射到“number”。比如：
if(骰子掷出1 /*骰子掷出1是个事件*/) X=1 /*X是个随机变量*/; if(骰子掷出2) X=2;
这个例子里骰子的值刚好等于映射的number。