选择题
链接:
https://www.nowcoder.com/acm/contest/178/B
来源:牛客网
题目描述
有一道选择题,有 (a,b,c,d) 四个选项。
现在有 (n) 个人来做这题,第 (i) 个人有 (p_{i,j}) 的概率选第 (j) 个选项。
定义 (cnt(x)) 为选第 (x) 个选项的人数。
令 (mx) 为 (cnt(x)) 最大的 (x) (如果有多个(cnt(x))最大的 (x),则取其中 (x) 最小的),
若(cnt(mx) le lfloorfrac{n}{2} floor) ,则所有人得 (0) 分;
否则令 (choice_i) 表示第 (i) 个人选的选项,则第 (i) 人得(w_{mx,choice_i})分
求每个人的期望得分。
输入描述:
第一行一个整数 (n) ,表示人数。
接下来 (n) 行,每行 (4) 个整数,其中第 (i) 行第 (j) 个数表示 (p_{i,j}) ,即在模 (998244353) 意义下第 (i) 个人选第 (j) 个选项的概率。
接下来 (4) 行,每行 (4) 个整数,第 (i) 行第 (j) 个数表示 (w_{i,j}) 。
输出描述:
共 (n) 行,第 (i) 行表示第 (i) 个人在模 (998244353) 意义下的期望得分。
备注:
全部的输入数据满足:
- (1 ≤ n ≤ 2000)
- $0 ≤ p_{i,j} < 998244353 (1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ 4) $
- (sumlimits_{j=1}^4 p_{i,j} equiv 1 (mod 998244353)(1le i le n))
各个测试点的性质如下
测试点编号 | n | 特殊性质 |
---|---|---|
(1) | (le 2) | |
(2) | (le 10) | (p_{i,3}=p_{i,4}=0,(1le i le n)) |
(3) | (le 10) | |
(4,5) | (le 100) | (p_{i,3}=p_{i,4}=0,(1le i le n)) |
(6,7) | (le 100) | (p_{i,4}=0(1le i le n)) |
(8,9,10,11) | (le 100) | |
(12sim20) | (le 2000) |
Solution
考试的时候打了55pts暴力,结果爆5了,原因竟然是出负数了没模正。。
枚举每个人选什么和最后结果是什么,然后算一下其他人的选择对这个结果的概率。
每次可以简单的(n^2)做(dp)
(dp_{i,j})代表前(i)个人有(j)个选了的和
(dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}p_{i,k}+dp_{i-1,j}(1-p_{i,k}))
发现每次只是少了一个人不进行(dp)
可以先把所有人的(dp)搞出来,然后(O(n))把人踢出来
具体的,设(dp_{i})为(i)个人选了某选项的全集
枚举每个人时,显然有(dp_i'=p_idp_{i-1}+(1-p_i)dp_i)
那么回退时有(dp_i=frac{dp_i'-p_idp_{i-1}}{1-p_i})
注意压维了的话是存在顺序的,还要特判(p_i=1)
Code:
#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=2e3+10;
const ll mod=998244353ll;
int n;
ll p[N][5],w[5][5],dp[N][5],inv[N][5],ans[N];
ll quickpow(ll d,ll k)
{
ll f=1;
d=(d%mod+mod)%mod;
while(k)
{
if(k&1) f=f*d%mod;
d=d*d%mod;
k>>=1;
}
return f;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=4;j++)
scanf("%lld",&p[i][j]),inv[i][j]=quickpow(1-p[i][j],mod-2);
for(int i=1;i<=4;i++)
for(int j=1;j<=4;j++)
scanf("%lld",&w[i][j]);
dp[0][1]=dp[0][2]=dp[0][3]=dp[0][4]=1;
for(int k=1;k<=4;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ll p1=(1-p[i][k]),p2=p[i][k];
for(int j=n;j;j--)
dp[j][k]=(p2*dp[j-1][k]+p1*dp[j][k])%mod;
dp[0][k]=dp[0][k]*(1-p[i][k])%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++)//这个人
for(int j=1;j<=4;j++)//选啥
{
if(p[i][j]==0) continue;
for(int k=1;k<=4;k++)//结果是
{
if(w[k][j]==0) continue;
int flag=1,up=(n>>1)+1-(j==k);
ll sum=0;
if(p[i][k]==1) flag=0;
if(flag)
{
dp[0][k]=dp[0][k]*inv[i][k]%mod;
ll p2=p[i][k];
for(int l=1;l<up;l++)//退包
dp[l][k]=(dp[l][k]-p2*dp[l-1][k])%mod*inv[i][k]%mod;
for(int l=up;l<=n;l++)
{
dp[l][k]=(dp[l][k]-p2*dp[l-1][k])%mod*inv[i][k]%mod;
sum+=dp[l][k];
}
}
if(!flag)
{
for(int i=up+1;i<=n;i++)
sum+=dp[i][k];
}
sum%=mod;
(ans[i]+=w[k][j]*sum%mod*p[i][j])%=mod;
if(flag)
{
ll p1=(1-p[i][k]),p2=p[i][k];
for(int l=n;l;l--)
dp[l][k]=(dp[l][k]*p1+p2*dp[l-1][k])%mod;
dp[0][k]=dp[0][k]*(1-p[i][k])%mod;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%lld
",(ans[i]+mod)%mod);
return 0;
}
2018.10.21