4710 [Jsoi2011]分特产
题意
给定(n)个集合，每个集合有相同的(a_i)个元素，不同的集合的元素不同。将所有的元素分给(m)个不同位置，要求每个位置至少有一个元素，求分配方案数。
先考虑两个简单的问题
给定(m)个相同元素和(n)个不同位置，每个位置至少分一个的方案数？
使用插板法，等价于在(m-1)个空挡里插(n-1)个元素，方案数为
[inom{m-1}{n-1}
]
但是这样考虑，这个题目是做不了的。
给定(m)个相同元素和(n)个不同位置，每个位置可以不分的方案数？
事实上还是插板，但可以一个位置插两个板子。
把(m)个元素看做(1)，把(n-1)个插开点看做(0)，等价于从(m+n-1)个元素拿(n-1)个，方案数为
[inom{m+n-1}{n-1}
]
从问题(2)出发，我们就可以容斥了
把一种方案有几个位置没选作为方案的性质，我们可以计算出一个至少有几个人没选的方案集合的数量。
因为位置的计算方法是等价的，所以我们不需要枚举子集，只需要简单的按照组合数进行计算就可以了。
具体的说，我们把所有集合的元素都独立按方案二的选出来，令(f_i)代表至少(i)个位置不选择元素的方案数，则有
[f_i=inom{n}{i}prodlimits_{j=1}^n inom{a_j+n-i-1}{n-i-1}
]
则总方案是 至少(0)人-至少(1)人+...，即
[sum_{i=0}^{n-1}(-1)^if_i
]
Code:
#include <cstdio>
#define ll long long
const int N=2000;
const ll mod=1e9+7;
ll C[N+10][N+10];
void init()
{
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
}
}
int n,m,a[N];ll ans;
int main()
{
init();
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",a+i);
for(int i=0;i<n;i++)
{
ll mu=1;
for(int j=1;j<=m;j++)
(mu*=C[a[j]+n-i-1][n-i-1])%=mod;
(ans+=(i&1?-1ll:1ll)*C[n][i]*mu%mod)%=mod;
}
printf("%lld
",(ans%mod+mod)%mod);
return 0;
}
2018.10.18