最大权闭合子图
一、概念
(1) 闭合图
在图(G)中，若子图(G'=(V,E))满足其中所有点的出边所指向的点仍属于集合(G')，则成这个子图为闭合图。
(2) 最大权闭合子图
给集合(G)中每个点赋予点权，点权之和最大的闭合子图称为最大权闭合子图。
二、求解
(1) 考虑一个有向图(G)
边权这里代表的是依照题意而连接的关系。
(2) 将正点权上发，将负点权下放，分别连接超级源点(S)和超级汇点(T)
先别急为什么负点权连出正边权和原关系连inf，继续往下看
(3) 找到一个割集
/*- 性质
①这个割集一定是简单割。
简单割：任取$E in$割集，它一定连接$S$或$T$
证明：权值为inf的点不可能被割掉
②图$S$(即含超级源点$s$的图)一定是一个闭合图，且这个闭合图和简单割一一对应
闭合图根据割的定义其实是一定的
*/
好吧我在上面的定义中有点不太明白
我觉得图的任意割集产生的与源点S相连的图一定是闭合图也是对的=_=。。
(4) 求解最小割
引理：最小割产生的(S)图一定是一个最大权闭合图
证明：设(S)图的点权之和为(C=C_1+C_2)，其中正点权为(C_1)，负点权为(C_2)(这个是负的)。设割集中边权和为(W=W_1+W_2)，正边权（与(S)相连的被割掉的边）和为(W_1)，负边权和为(W_2)(这个是正的)
(C+W=C_1+C_2+W_1+W_2)
因为负点归为(S)得割掉与(T)相连的边，所以(C_2+W_2=0)
(C+W=C_1+W_1)
显然右边即为图(G)中所有正点权之和,即为(Sum)，是一个定值。
(C=Sum-W)
若使(C)最大，则(W)最小，当(W)在数值上最小的时候，即为最小割
(5) 实际问题建模(我做一个应该就会更新一个啦)