什么是线性基
线性基大概可以理解为对于一组数 (A_1,A_2...A_n) ，构造出一个大小为 ( ext{O}left(log_2 ext{N} ight)) 的一个数组 (P)（( ext{N}) 即为数组 (A) 中数的值域），使得数组 (A) 中的任意数都可以由数组 (P) 中的数异或得出。
在满足此条件时，线性基的大小应该尽可能的小。
线性基的性质
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数组能通过数组 (A) 中的数异或得出的数同样能够通过数组 (P) 中的数异或得出。
- 线性基能表示出数组的所有数，所以一定可以表示出数组中数的异或值
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线性基中的每一个数在二进制形式下的最高位都不同。
- 如果线性基中有两个数在二进制形式下的最高为相同，那么显然这两个数可以合并为一个数。
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线性基没有异或和为 (0) 的子集。
- 如果线性基的某些数的异或和为 (0)，那么这些数中的某一些数的异或和一定等于另一部分的异或和，也就是说这两部分有一部分是多余的，所以必须舍去。
线性基的构造
设 (P_i) 为线性基中在二进制下最高位为 (i) 的数的值
每插入一个数 (x)，就执行一遍下面的操作：
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从高到低枚举二进制下的位数 (i) ，如果线性基中最高位为 (i) 的数即 (P_i) 还没有数存入，就把 (x) 存入 (P_i) ，完成插入。
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如果线性基中最高位为 (i) 的数已经存在，那么 (x=x oplus P_i)
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如果 (x) 为 (0) ，完成插入。
Code
void build()
{
x=read();
for(int i=50;i>=0;--i)
if(x>>i)
//如果 x 的前 i 位没有 1，那么下面的操作就没有意义
{
if(!p[i])
{
p[i]=x;
break;
}
x^=p[i];
}
}
为什么这么做可以构造出线性基？
如果找到了一个没有存入任何数的 (P_i)，那么把 (x) 存入后就可以直接表示出 (x)。
如果找到了一个已经存入数的 (P_i)，那么只要线性基能表示出 (x oplus P_i) 那么 (x) 就可以通过 (P_i oplus left(x oplus P_i
ight)=x) 表示出。
而如果 (x_{(2)}) 的第 (i) 位为 (1)，那么由于 (P_i) 的第 (i) 位一定为 (1) ，所以两数异或后 (x) 的第 (i) 位一定为 (0)，这样一位一位地做，最终肯定会使 (x) 变为 (0)。
线性基的复杂度
我们需要一个大小 ( ext{O}left(log_2 ext{N} ight)) 的数组来存储所有的 (P_i)，故空间复杂度 ( ext{O}left(log_2 ext{N} ight))。
每插入一个数要遍历一边 (P) 数组，故时间复杂度也是 ( ext{O}left(log_2 ext{N} ight))。
非常优秀
线性基的应用
求一组数中取任意数能得到的异或最大值
因为在原数组中异或得到的数也能在线性基中异或得到，所以问题就转换成了在这组数的线性基中找到异或最大值。
我们可以从高到低枚举位数 (i)，记 (ans) 为当前能得到的异或最大值，则如果 (P_i oplus ans>ans)，那么就令 (ans=P_i oplus ans)。
因为 (P_i) 的第 (i) 位为 (1)，如果 (ans) 的第 (i) 位为 (0)，那么异或后 (ans) 的第 (i) 为就变成了 (1)，即使后面几位再小，(ans) 也会变大，所以异或更优。
而如果 (ans) 的第 (i) 位为 (1)，那么异或后 (ans) 的第 (i) 为就变成了 (0)，即使后面几位再大， (ans) 也会变小，所以不异或更优。
因为是从高位到低位计算的，所以后面位数的计算不会影响前面位数的计算，所以是最优的。
Code
int getmax()
{
int ans=0;
for(int i=50;i>=0;--i)
if((ans^p[i])>ans)
ans^=p[i];
return ans;
}
最小值同理。
判断一个数能否通过一组数中任意数异或得到
假如判断的数是 (x) 那么从高到低枚举 (x) 的每一位，如果第 (i) 位为 (1)，那么就把它异或上 (P_i)，如果枚举完后 (x) 为 (0)，那么就可以表示出。
证明同理插入证明。
Code
bool check(int x)
{
for(int i=50;i>=0;--i)
if((x>>i)&1)
x^=p[i];
return x==0;
}
例题
Luogu P3812 【模板】线性基
Luogu P3857 [TJOI2008]彩灯
Luogu P4570 [BJWC2011]元素
待更新。。。
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