概率学派的争端
PS：注意这篇文章的评论
问题是这样的：
1、多次抛硬币首先是一个贝努利试验，独立同分布的
2、每次抛硬币出现正、反面的概率都是1/2
3、当然硬币是均匀同分布的，而且每次试验都是公正的
4、在上述假设下，假如我连续抛了很多次，例如100次，出现的都是正面，当然，稍懂概率的人都知道，这是一个小概率事件，但是小概率事件是可能发生的。我要问你，下次也就是我抛第101次，出现正、反的概率是不是相等。我认为是不相等的，出现反面的概率要大于正面。我的理由是，诸如“抛硬币”等独立同分布试验都有无数人试验过，而且次数足够多时，正、反面出现的概率应该是逼近1/2的。也就是说，这个过程，即使是独立同分布的试验它也是有概率的。
三门问题，亦称为蒙特霍问题（英文：Monty Hall problem），最初的表述形式：
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？
很老的问题了，不过在任何时候都能引起激烈的争论，更神奇的是无论直觉派，概率派等都认为自己的答案有道理。维特根斯坦认为世界上多数问题归根结底都是语言问题。三门问题的争论其实也是语义上的。正确答案应该是
如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了，那么参赛者应该换另一扇门，这可以将他胜利的概率从1/3升到2/3。
如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门，但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要，胜利概率总是1/2。
简单的证明（如果对概率论一点都不了解得话可以直接枚举进行计数）：
我们需要计算P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门)。以下说明在第一种情况这个概率为1/3；在第一种情况下这个概率为1/2。如果参赛者没有选中汽车门，另一扇门必定是汽车门，所以换门后包含汽车的概率分别为2/3和1/2。
P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车，主持人打开了一个山羊门)/P(主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车门)P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)/P(主持人打开了一个山羊门) .................(*)
而P(参赛者选中了汽车门) = 1/3。在参赛者选中了汽车门时，主持人打开的必定是山羊门，所以P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)=1。
问题的关键是P(主持人打开了一个山羊门)。在第一种情况下，主持人每次都有意的打开了山羊们，所以此时P(主持人打开了一个山羊门)=1；在第二种情况下，主持人随机选择了一个门，虽然他是在参赛者选择的门之外选择的，但不难知道这个概率为P(主持人打开了一个山羊门)=2/3。
将上面数据代入(*)即得出结论。
上面答案中的假设条件并没有在问题中明确指出，从而导致这个问题的巨大争议。所以最后的问题「官方」表述将问题严格确定下来(来源：三门问题@wikipedia)：
参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
主持人知道每扇门后面有什么。
主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
这时候问题被限制在答案的第一种情况，这时候参赛者总是应该选择换一个门。
要正确理解三门问题，可以再看两个三门问题的翻版：
女孩的概率
- 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？
答：三分之一。
因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。 因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。
这对应了三门问题的第一种情况。
- 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？
答：二分之一。
这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。
这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。
但是在问题1中，是主动发现的
你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。
http://zhiqiang.org/blog/science/three-doors-related-problems.html