[自用]高等数学学习笔记导数

高等数学学习笔记-导数

目录

• 高等数学学习笔记-导数
  • 导数的定义
  • 可导性
  • 导数的运算法则
  • 常见函数的导数
    • 多项式函数的导数
    • 三角函数的导数
    • 指数和对数函数的导数
    • 双曲函数及其导数
  • 隐函数求导
    • 相关变化率
    • 用隐函数求导求曲线上某一点的切线斜率
  • 反函数的导数
    • 反三角函数的导数
  • 导数与图像
    • 罗尔定理
    • 拉格朗日中值定理
    • 柯西中值定理
    • 洛必达法则

约定:
因为在Latex里用\mathrm{d}打正体的\(\mathrm{d}\)太麻烦了,微分符号暂时用\(d\)表示.保证\(d\)不会作为变量出现

导数的定义

\[f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

如果\(y=f(x)\),那么我们可以把\(f'(x)\)表示成\(\frac{dy}{dx}\). 注意\(\frac{dy}{dx}\)实际上是分数的极限，而不是一个分数,但很多时候可以看成分数进行运算

如\(y=x^2=f(x)\),则这几种表示方法都可以

\[f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^2)}{dx}=\frac{d}{dx}(x^2) \]

\(n\)阶导数用\(f^{(n)}(x)\)或\(\frac{d^n y}{dx^n}\)表示

我们用极限定义导数,反过来,某些特殊形式的极限也可以转化为导数求解

比如说

\[\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[5]{h+32}-2}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[5]{h+32}-\sqrt[5]{32}}{h}=(x^{1/5})'(32)=\frac{1}{5}(32)^{-4/5}=\frac{1}{80} \]

当然,这种伪装的极限也能用洛必达法则求解

可导性

类比极限的存在性,我们可以定义左导数 \(\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) 和右导数 \(\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

如果左右导数存在且相等,那么导数存在且有相同的值

例如\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处的左右导数分别为-1和1,所以导数不存在。 几何直观上体现为该处函数图像有一个“尖角”,而不是平滑的过渡

如果一个函数\(f\)在\(x\)上可导，那么它在\(x\)上连续

证明:

连续性等价于\(\lim_{u \to x}f(u)=f(x)\),令\(u=h+x\),则转化为\(\lim_{h \to 0}f(x+h)=f(x)\)

可导性等价于\(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)存在

\[\lim_{h \to 0} (f(x+h)-f(x))=\lim_{h \to 0} (\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times h)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \times \lim_{h \to 0} h=f'(x) \times 0=0 \]

已知\(f(x)\)可导，所以极限都存在,用极限的乘法法则没有问题

根据减法法则有\(\lim_{h \to 0} (f(x+h)-f(x))=\lim_{h \to 0}f(x+h)-\lim_{h \to 0}f(x)=0\)

而\(f(x)\)这里与\(h\)无关,可以看成常数,所以\(\lim_{h \to 0}f(x)=f(x)\)

所以\(\lim_{h \to 0}f(x+h)=f(x)\),这说明连续

可导一定连续,连续不一定可导

导数的运算法则

常见函数的导数

多项式函数的导数

\[\frac{d}{dx}x^n=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{nx^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\cdots}{h}=nx^{n-1} \]

(后面带\(h\)的高次项的极限为0)

三角函数的导数

记\(\csc x=\frac{1}{\sin x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\cot x=\frac{1}{\tan x}\)

! 注意csc是sin的倒数而不是cos,首字母是反的

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x&=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h} \\&= \cos x\lim_{h \to 0}(\frac{\sin h}{h})-\sin x \lim_{h \to o}{\frac{1-\cos h}{h}} \\ &=\cos x \times 1+\sin x \times 0=\cos x\end{aligned} \]

(用到了三角函数的两个重要极限)

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos x&=\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h} \\&= -\sin x\lim_{h \to 0}(\frac{\sin h}{h})-\cos x \lim_{h \to o}{\frac{1-\cos h}{h}} \\ &=-\sin x\end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx} \tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2x\end{aligned} \]

\[\frac{d}{dx} \cot x=- \csc^2x \]

\[\frac{d}{dx} \sec x =-\frac{1}{(\cos x)^2}(-\sin x)=\sec x\tan x \]

\[\frac{d}{dx} \csc x=-\frac{1}{\sin^2x}\cos x=-\csc x\cot x \]

(用除法法则,高中内容,略)

指数和对数函数的导数

\[\frac{d}{dx}\ln x=\lim_{h \to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}\ln(\frac{x+h}{x})=\lim_{h \to 0}\ln ((1+\frac{h}{x})^{1/h}) \]

注意到根据\(e^x\)的定义,\(\lim_{h \to 0}(1+\frac{h}{x})^{1/h}=e^{1/x}\)，因此

\[\frac{d}{dx}\ln x=\ln(e^{1/x})=\frac{1}{x} \]

根据换底公式有

\[\frac{d}{dx} \log_bx=\frac{1}{x\ln b} \]

为了求\(e^x\)的导数,要借助反函数求导(见下两个模块)

\[\frac{d}{dx} e^x=\frac{1}{1/y}=\frac{1}{1/e^x}=e^x \]

双曲函数及其导数

\(\sinh(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\),奇函数

\(\cosh(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\)，偶函数. 类似的可定义出双曲正切等函数

容易得\(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\) 和三角函数不同!

\[\frac{d}{dx} \sinh(x)=\cosh(x) \]

\[\frac{d}{dx} \cosh(x)=\sinh(x) \]

\[\frac{d}{dx} \tanh(x)=\frac{1}{\cosh^2(x)}=\mathrm{sech}^2(x) \]

\[\frac{d}{dx} \mathrm{csch}(x)=-\mathrm{csch}(x)\coth(x) \]

\[\frac{d}{dx} \mathrm{sech}(x)=-\mathrm{sech}(x)\tanh(x) \]

和三角函数不同!

\[\frac{d}{dx} \mathrm{coth}(x)=-\mathrm{csch}^2(x) \]

隐函数求导

相关变化率

在问题中，搞清对什么求导最关键

例如有两个变量\(x,y\)

\[\frac{d}{dx} (y^2)=\frac{d(y^2)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=2y \cdot \frac{dy}{dx} \]

实际上用的是链式法则。我们想要求\(x\)变化时对\(y^2\)的影响,而\(dy/dx\)表示\(x\)变化时\(y\)的变化,\(dy^2/dy\)表示\(y\)变化对\(y^2\)的影响.

有的时候需要多次使用链式法则

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos(\frac{y}{x^4})&=\frac{d \cos t}{dt}\cdot \frac{d t}{d x}(\text{记}t=\frac{y}{x^4}) \\ &=-\sin t \cdot \frac{dt}{dx}\\ &=-\sin{\frac{y}{x^4}} \frac{x^4\frac{dy}{dx}-y\frac{d (x^4)}{dx}}{(x^4)^2}= \cdots \end{aligned} \]

用隐函数求导求曲线上某一点的切线斜率

考虑椭圆的方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), \(y\)不是\(x\)的函数,但有某种限制关系,这种关系就叫做隐函数

两边对\(x\)求导

\[\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{a^2})+\frac{d}{dx}(\frac{y^2}{b^2})=\frac{d}{dx}(1) \]

\[\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \]

整理得\(\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2 x}{a^2 y}\)

它给出的是某一点处\(dy/dx\)与坐标\((x,y)\)的关系. 而\(dy/dx\)的几何意义就是切线斜率

反函数的导数

如果函数\(f\)有反函数\(f^{-1}\)

那么若\(y=f^{-1}(x)\),则\(x=f(y)\).根据隐函数求导

\[\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}(f(y))=\frac{d f(y)}{dx} \cdot \frac{dy}{dx} \]

则

\[\frac{d}{dx} f^{-1}(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]

这个式子有些不好理解(至少对我来说是的)，需要注意:

• 形如 \(f(y)\) 的表达式的意思是把\(f\)中的代表自变量的字母写为\(y\). 第一个等号后只得到了\(dy/dx\) 和 \(y\) 的关系，而要得到 \(dy/dx\) 与 \(x\) 的关系(即导函数),要把 \(y\) 用 \(x\) 表示
• 这里针对的是\(f^{-1}(x)\)求导,也就是说\(y\)不是\(f(x)\),而是\(f(y)=x\). 要用这个式子来代换
• 如果我们把要求导的函数(不妨记为 \(g(x)\) )看成原函数,那么我们就必须找出其反函数 \(g^{-1}(x)\) 的导数. 于是式子也可以写成 \(\frac{d}{dx}g(x)=\frac{1}{(g^{-1})'(g(x))}\)
• 从这个式子 \(f^{-1}(x)\) 的导数似乎还和 \(f^{-1}(x)\)本身有关。比如 \(\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=\frac{1}{2y}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) 但是实际上我们处理的\(f\)往往有特殊的性质,能让 \(f'(f^{-1}(x))\) 变成另一个表达式

比如\(f(x)=e^x,y=f^{-1}(x)=\ln x, f'(x)=e^x,f'(y)=e^y\)

那么\(\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}\)

反三角函数的导数

\(f(x)=\sin x (x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\)(限定定义域以保证可逆)

记 \(f^{-1}(x)=\sin^{-1}(x)=\arcsin(x)\),它的定义域为 \([-1,1]\)值域为 \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

\[\frac{d}{dx} \sin^{-1} x=\frac{1}{\sin '( \sin^{-1}(x)}=\frac{1}{\cos(\sin^{-1}(x))} \]

然而求到这里还没有结束。记\(\sin^{-1}x=y,则\sin y=x, \cos y=+\sqrt{1-x^2}(|y|<\pi/2)\)

\[\frac{d}{dx} \arcsin x=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

同理

\[\frac{d}{dx} \arccos x=\frac{1}{-\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

\[\frac{d}{dx} \arctan x=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}=\cos^2 y \]

!注意分母的倒数

又因为 \(\tan y=x\) , 则 \(\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\),故

\[\frac{d}{dx} \arctan x=\frac{1}{1+x^2} \]

导数与图像

最值(全局)与极值(局部)的定义 (略)

全局最大(小)值一定是局部最大(小)值

极值定理: 假设函数\(f\)定义在开区间\((a,b)\)内,如果\(c\)为函数的局部最大值或最小值,那么\(f'(c)=0\)或\(f'(c)\)不存在。我们把导数为0或不存在的点称为临界点.

反过来,临界点不一定是极值点.如\(f(x)=x^3,x=0\)

最大值与最小值定理: 连续函数在闭区间上一定有一个全局最大值和全局最小值

罗尔定理

罗尔定理:\(f\) 在 \([a,b]\) 连续, \((a,b)\) 可导,且 \(f(a)=f(b)\) ,则至少存在一点\(c \in (a,b)\) 使得 \(f'(c)=0\)

证明: 由于\(f\)连续,根据最大值和最小值定理, \([a,b]\) 上一定存在一个全局最大值和最小值

1. 如果其中至少一个出现在 \((a,b)\) 内,记为 \(c\) 那么根据极值定理,\(f'(c)\)=0, 得证
2. 如果全局最大值和最小值都出现在端点\(a,b\)上,因为\(f(a)=f(b)\),根据全局最值的定义,\(f\)一定是常函数,任意一点\(f'(c)=0\),得证

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理:\(f\) 在 \([a,b]\) 连续, \((a,b)\) 可导,则至少存在一点 \(c \in (a,b)\) 使得 \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

证明:构造函数

\[g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \]

通分易得\(g(a)=f(a),g(b)=f(a)=g(a)\)

\(f\)是连续的,而减去的只是关于\(x\)的一次函数,也是连续的.故\(g\)在\([a,b]\)内连续且在\((a,b)\)内可导

这样由罗尔定理,\(\exist c \in (a,b)\) 使得 \(g'(c)=0\)

而对\(g\)求导得 \(g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

把\(c\)代入得\(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

从几何意义上看,拉格朗日中值定理说明曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦

柯西中值定理

柯西中值定理:\(f\)和\(g\) 在 \([a,b]\) 连续, \((a,b)\) 可导,且除了可能在\(a\)处,\(g'(x)\neq 0\),则至少存在一点 \(c \in (a,b)\) 使得

\[\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]

如果令\(g(x)=x\)就得到了拉格朗日中值定理 也许令g(x)=x-a和证明过程配合的更好?,不过本质都是一样的

\(g(b) \neq g(a)\),这是因为若\(g(b)=g(a)\),由罗尔定理可得\(g'(c)=0\),这与条件中\(g'(x) \neq 0\)矛盾。因此这个式子总是有意义的

证明: 在证明拉格朗日中值定理时我们做差构造一个新函数，那么我们如法炮制，构造

\[h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x) \]

通分容易发现\(h(a)=h(b)\),并且\(h\)是闭区间连续,开区间可导的.求导,根据罗尔定理

\(h'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0\),移项整理就得到了柯西中值定理

洛必达法则

0/0型:

如果 \(f(a)=g(a)=0\), 那么 \(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\). 前提:等式右端的极限存在,且\(x\)趋于但不等于\(a\)时\(g'(x)\)不为0

因为\(f(a)=g(a)=0\)

\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} \]

如果\(x>a\),在区间\([a,x]\)上使用柯西中值定理,说明对每个\(x\)都存在\(c \in [a,x]\),使得\(\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\). 因此\(\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(c)}{g'(c)}\).

\(x \to a\)时\(c \to a\). 所以结果就是\(\lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)}\). \(c\)只是一个记号,把\(c\)改为\(x\),就得到了洛必达法则的形式

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