[自用]高等数学学习笔记极限

高等数学学习笔记-极限

目录

• 高等数学学习笔记-极限
  • 极限的定义
    • 在一点处的极限
    • 左极限和右极限
    • 在负无穷和正无穷处的极限
  • 极限的性质及其证明
    • 极限的三大基本性质
    • 极限的四则运算法则及其证明
      • 加法法则的证明
      • 乘法法则的证明
      • 除法法则的证明:
    • 夹逼定理
  • 求解具体的极限
    • 多项式函数的极限
    • 三角函数的极限
    • e的定义,指数与对数函数的极限
      • e的定义
      • 指数与对数函数的极限
  • 连续与极限
    • 连续的定义
    • 连续函数

极限的定义

在一点处的极限

极限是有限数:

\(\lim_{x \to a}f(x)=L\)表示\(\forall \varepsilon>0\) , 总 \(\exist \delta>0\) 使得 对于所有满足 \(0<|x-a|<\delta\) 的 \(x\) ,有 \(|f(x)-L|<\varepsilon\)

注意极限与\(f(a)\)这一点无关,它代表函数在\(a\)附近的性质

无穷极限:

\(\lim_{x \to a}f(x)=\infin\)表示\(\forall M>0\) , 总 \(\exist \delta>0\) 使得 对于所有满足 \(0<|x-a|<\delta\) 的 \(x\) ,有 \(f(x)>M\)

即把原始定义中\(f(x)\)的范围换成\(f(x)>M\)

左极限和右极限

把原始定义中 \(x\) 的范围换成的 \(0<x-a<\delta\)就得到了左极限,相当于不用管\(a\)右边的情况。同理换成\(0<a-x<\delta\)就得到了右极限

当 \(\lim_{x \to a^+ }f(x)=\lim_{x \to a^- }f(x)=L\) 时, \(f(x)\) 在 \(x=a\) 时存在极限,且 \(\lim_{x \to a}f(x)=L\) 。

当左极限和右极限不相等时,那么双侧极限不存在. 比如 \(\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\)

在负无穷和正无穷处的极限

\(\lim_{x \to \infin}f(x)=L\) 表示\(\forall \varepsilon>0\) , 总 \(\exist n>0\) 使得 对于所有满足 \(x>n\) 的 \(x\) ,有 \(|f(x)-L|<\varepsilon\)

即把原始定义中 \(x\) 的范围换成 \(x>n\). 类似的把\(f(x)\)换成\(a_n\),我们可以定义数列极限，思想是相同的

极限的性质及其证明

在用\(\varepsilon-\delta\)语言证明极限性质前,我们需要熟悉以下绝对值的性质,因为极限的定义中用到了绝对值

\[||a|-|b||\leq |a \pm b| \leq |a| + |b| \]

\[|ab| \leq |a||b| \]

极限的三大基本性质

唯一性:函数在某个点上的极限唯一

局部有界性 : 若 \(\lim _{x \to a}=A\) ，则 \(\exists M>0, \delta>0\) ，对于 \(0<\left|x-a\right|<\delta\) ，有 \(|f(x)| \leq M\)

证明: 由 \(\lim _{x \to a}=A\) 可得 \(\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0\) ，在 \(0<\left|x-a\right|<\varepsilon\) 时，有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) 那么\(|f(x)|=|f(x)-A+A| \leq|f(x)-A|+\) \(|A|<\varepsilon+|A|\)
于是取 \(M=\varepsilon+A\) 即可(实际应用时也可以直接用\(\varepsilon+A\)代替\(M\))

局部保号性 : 若 \(\lim _{x \to a} f(x)=A>0\) ，则 \(\exists \delta>0\) ，使 \(0<\left|x-a\right|<\delta\) 时， \(f(x)>0\) 。(小于0同理 )

证明 : 类似局部有界性的证明

\[f(x)=|f(x)|\geq ||f(x)-A|-|A||>|\varepsilon-A| \]

令\(\varepsilon=A\)即可

在高考导数大题中我们常常需要在\(a\)附近找到具体的一个\(x_0\) 使 \(f(x)>0\) 成立,高考评分标准要求写出 \(x_0\) 的表达式，事实上是没有必要的 (然而你已经高考完了)

极限的四则运算法则及其证明

极限的四则运算法则如下

若 \(\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B\) 则

\(\lim_{x \to a} f(x) \pm g(x)=A \pm B\)

\(\lim_{x \to a} f(x)g(x)=AB\)

\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B \neq 0)\)

加法法则的证明

对于\(\forall \varepsilon\),
因为\(\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B\),由极限的定义存在正数 \(\delta\), 使得当 \(0<\left|x-a\right|<\delta\) 时, 有

\[\begin{align*} |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}, \quad|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2} . \end{align*}\]

从而当 \(0<\left|x-a\right|<\delta\) 时, 有

\[\begin{align*} \mid((f(x) \pm g(x))-(A \pm B)|=|(f(x)-A)\pm (g(x)-B)|\leq| f(x)-A|+| g(x)-B \mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon . \end{align*}\]

所以 \(\lim _{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B\).

乘法法则的证明

类似加法法则的证明,我们先列出极限对应的绝对值表达式,再进行放缩

\[\begin{align*} |f(x) g(x)-A B|=|f(x) g(x)-g(x) A+g(x) A-A B| \\ \leqslant|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B| \end{align*}\]

接着我们要利用定义寻找\(|f(x)-A|,|g(x)-B|,|g(x)|\)的范围

因为 \(\lim _{x \to a} g(x)\) 存在, 根据极限的局部有界性存在正数 \(M\) 及正数 \(\delta_{1}\), 使得当 \(0<|x-a \mid<\delta_{1}\) 时, 有
\(|g(x)| \leqslant M\)

对于任意的正数 \(\varepsilon\), 因为
\(\lim _{x \to a} f(x)=A, \lim _{x \to a} g(x)=B,\)

所以存在正数 \(\delta_{2}\), 使得当 \(0<|x-a \mid<\delta_{2}\) 时, 有

\[\begin{align*} |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2 M},|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2|A|}(A \neq 0) \text {. } \end{align*}\]

令 \(\delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}\), 则 \(\delta>0\), 且当 \(0<\left|x-a\right|<\delta\) 时, 有

\[\begin{align*} |f(x) g(x)-A B| &=|f(x) g(x)-g(x) A+g(x) A-A B| \\ &\leqslant|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B| \\ &<M \cdot \frac{\varepsilon}{2 M}+|A| \cdot \frac{\varepsilon}{2|A|}=\varepsilon . \end{align*}\]

所以 \(\lim _{x \to a} f(x) g(x)=A B\).

除法法则的证明:

容易发现,我们只需要证明\(\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{B}(B\neq 0)\)

\[|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{B}|=\frac{|g(x)-B|}{|g(x)||B|} \]

注意到\(|g(x)|\)在分母上,要反过来,所以我们需要寻找形如 \(g(x)>\square\) 的不等式
所以存在正数\(\delta_{1}\), 使得当 \(0<|x-a \mid<\delta_{1}\) 时, 有
\(|g(x)-|B|| \leqslant \frac{|B|}{2}\)

故 \(|g(x)|=|g(x)-|B|+|B||\geq ||g(x)-B|-|B|| \geq |\frac{|B|}{2}-|B||=\frac{|B|}{2}\)

对于任意的正数 \(\varepsilon\),
存在正数 \(\delta_{2}\), 使得当 \(0<|x-a \mid<\delta_{2}\) 时, 有
\(|g(x)-|B||<\frac{|B|^2}{2}\varepsilon\)

令 \(\delta=\min \left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}\), 则 \(\delta>0\), 且当 \(0<\left|x-a\right|<\delta\) 时, 有

\[\begin{align*}|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{B}| &=\frac{|g(x)-B|}{|g(x)||B|} \\ &\leq \frac{\frac{|B|^2}{2}\varepsilon}{\frac{|B|}{2}|B|}=\varepsilon\end{align*} \]

故\(\lim_{x \to a}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{B}(B\neq 0)\)

夹逼定理

若在 \(a\) 的某个去心邻域内(即 \(\exist \delta ,0<|x-a|<\delta\) ), \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) 成立,且 \(\lim_{x \to a}g(x)=\lim_{x \to a}h(x)=A\),则 \(\lim_{x \to a}f(x)=A\)

直观理解是显然的,我们还是可以严格证明:

设\(\exist \delta>0 ,0<|x-a|<\delta\), 使得\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) 成立

根据极限的定义, \(\forall \varepsilon>0\) , \(\exist \delta_1\) ,使得 \(0<|x-a|<\delta_1\) 时 \(A-\varepsilon<g(x)<A+\varepsilon\)(拆开绝对值),同理\(\exist \delta_2\) ,使得 \(0<|x-a|<\delta_2\) 时 \(A-\varepsilon<h(x)<A+\varepsilon\)

取 \(\delta_0=\min \{ \delta,\delta_1,\delta_2\}\) ,当 \(0<|x-a|< \delta_0\)时

\[f(x) \geq g(x)>A-\varepsilon \ \\ f(x) \leq h(x)<A+\varepsilon \]

即\(|f(x)-A|<\varepsilon\)

根据极限定义,\(\lim_{x \to a}f(x)=A\).

换成左、右极限或\(x \to \infin\)处的极限均可证明

求解具体的极限

前面我们证明了极限的四则运算法则,但极限的四则运算法则并不是万能的。因为它只有在各极限存在，且分母不为0时适用。但是，四则运算法则算不出极限，并不代表极限不存在。

多项式函数的极限

一般方法:
由于多项式函数都是连续的,先尝试直接把\(x\)替换成\(a\)。

• 如果出现\(b/\infin\),则结果为0
• 如果出现\(b/0\), 判断正负来确定是\(\infin\)还是\(-\infin\), 若左右极限不同则极限不存在
• 如果有根号,考虑分子有理化
• 尝试因式分解并把公因式约掉
• 如果0/0型

对于 \(\lim_{x \to \infin}\frac{p(x)}{q(x)}\) 最大次数的项决定极限的值 \(\lim _{x \to \infin} \frac{C}{x^n}=0 (n \in \mathbb{N*})\)

三角函数的极限

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \]

\[\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x}=0 \]

\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}=1 \]

\[\lim_{x \to \infin} \frac{\sin x}{x}=0 \]

虽然可以洛必达,但为了避免循环论证(三角函数的导数推导中又用到了三角的极限)
证明:

\(0<x< \frac{\pi}{2}\)时有

\[\sin x < x < \tan x \]

取倒数有

\[\frac{1}{\tan x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x} \]

同乘\(\sin x\)

\[\cos{x}<\frac{x}{\sin x}<1 \]

\(\lim_{x \to 0^+}\cos x=1, \lim_{x \to 0^+}1=1\)

根据夹逼定理, \(\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1\)

\(x \to 0^-\)的情况用奇函数的性质即可证明. 故

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \]

\[\begin{aligned}\lim _{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x}&=\lim _{x \to 0}(\frac{1-\cos x}{x}\frac{1+\cos x}{1+\cos x})=\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 x}{x(1+\cos x)}\\ &= \lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x} \times \sin x \times \frac{1}{1+\cos x} )\\ &=\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \times \lim_{x \to 0}\sin x \times \lim_{x \to 0}(\frac{1}{1+\cos x}) \\ &= 0\times 0 \times \frac{1}{2}=0 \end{aligned} \]

\[\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x} \frac{1}{\cos x})=\lim_{x \to 0}(\frac{\sin x}{x} )\lim_{x \to 0}\times (\frac{1}{\cos x})=1\times 1=1 \]

因为\(\frac{-1}{x}<\frac{\sin x}{x}<\frac{1}{x}\)
由夹逼准则

\[\lim_{x \to \infin} \frac{\sin x}{x}=0 \]

e的定义,指数与对数函数的极限

e的定义

在实际问题中,往往要处理这样的极限

\[L=\lim _{n \to \infin}(1+\frac{x}{n})^n \]

令 \(h=\frac{x}{n}\) ,则\(n=\frac{x}{h}\)

\[L=\lim _{n \to \infin}(1+\frac{x}{n})^n=\lim _{h \to 0}(1+h)^{x/h}=(\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h})^x \]

里面这个极限看起来是一个常数.(之后可以利用反常积分证明该极限存在)
定义:

\[e=\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h}=\lim_{n \to \infin} (1+\frac{1}{n})^n \]

那么我们就可以写成\(\lim _{n \to \infin}(1+\frac{x}{n})^n=e^x\). 这就是\(e^x\)的定义.它可以帮助我们把极限里面的x放到指数上 同理可以定义对数函数

指数与对数函数的极限

\[\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h}=1 \]

\[\lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}{h}=1 \]

\[\lim_{x \to \infin}e^x=\infin,\lim_{x \to -\infin}e^x=0,\lim_{x \to \infin}\frac{x^n}{e^x}=0 \]

\[\lim_{x \to \infin}\ln x=\infin,\lim_{x \to 0^+}\ln x=-\infin,\lim_{x \to 0^+}x^a\ln x=0(a>0) \]

注意到\((e^x)'=\lim_{h \to 0}(e^{x+h}-e^x)/h=e^x\),令\(x=0\)即可得到第一个极限

连续与极限

连续的定义

在一点处连续:

如果\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\),则\(f\)在\(x=a\)处连续

注意该定义要求双侧极限存在、\(f(a)\)存在(有限的),且这两个量相等. 类似左极限和右极限,我们可以定义左连续和右连续. 如果有连续性可以直接将\(a\)代入算出\(f(a)\)作为极限的值

在区间上连续:

如果\(f\)在\((a,b)\)上任意一点都连续,那么它在开区间\((a,b)\)上连续

注意该定义不需要端点处连续

如果

1. \(f\)在\((a,b)\)上任意一点都连续
2. \(\lim_{x \to a^+}f(x)\) 存在(且有限), \(f(a)\) 存在,且这两个量相等 (即在 \(x=a\)处右连续 )
3. \(\lim_{x \to b^-}f(x)\)存在(且有限), \(f(b)\)存在,且这两个量相等 (即在 \(x=b\)处左连续 )

那么\(f\)在\([a,b]\)上连续

连续函数

对两个连续函数做加法、减法、乘法或复合,会得到另一个连续函数。 如果做除法,除了分母为0的点，商函数处处连续。证明非常简单，用极限的运算法则.

已知\(\lim_{x \to a}f(x)=f(a),\lim_{x \to a}g(x)=f(a),h(x)=f(x)+g(x)\)

\[\lim_{x \to a}h(x)=\lim_{x \to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x)=f(a)+g(a)=h(a) \]

由定义常函数是连续的, \(f(x)=x\) 也是连续的( \(\lim_{x \to a}x=a\) ),根据连续函数的性质,可以推出任何多项式函数都是连续的