算法导论 2.3-5 二分查找

1、二分查找(Binary Search)

    　二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。
       二分查找要求：线性表是有序表，即表中结点按关键字有序，并且表的存储结构为顺序结构。不妨设有序表是递增有序的。

2、二分查找的基本思想

       二分查找算法思想：

     （1）首先确定该区间的中点位置： mid = ( left + right ) / 2;

     （2）然后将待查的K值与R[mid].key比较，若相等，则查找成功并返回此位置；否则须确定新的查找区

              间，继续二分查找，具体方法如下：

             ① 若R[mid].key>K，则由表的有序性可知R[mid..n].keys均大于K，因此若表中存在关键字等于K

                  的结点，则该结点必定是在位置mid左边的子表R[1..mid-1]中，故新的查找区间是左子表

                  R[1..mid- 1]。

            ② 类似地，若R[mid].key<K，则要查找的K必在mid的右子表R[mid+1..n]中，即新的查找区间是

                 右子表R[mid+1..n]。下一次查找是针对新的查找区间进行的。因此，从初始的查找区间R[1..n]

                 开始，每经过一次与当前查找区间的中点位置上的结点关键字的比较，就可确定查找是否成功，

                不成功则当前的查找区间就缩小一半。这一过程重复直至找到关键字为K的结点，或者直至当前

                的查找区间为空(即查找失败)时为止。

3、二分查找算法代码

迭代实现：

int binary_search(int A[], ElementType key, int p, int r )  
{  
    int left = p;
    int right= r;
  
    while ( left <= right )
    {  
        int middle = left + ((right-left)>>1);
  
        if ( array[middle] > key )
            right = middle - 1;
        else
        if ( array[middle] < key )  
            left = middle + 1;  
        else  
            return middle;
    }
    return -1;  
}  

递归实现：

int binary_search( int A[], ElementType key, int p, int r )
{
    int mid;

    if ( p <= r )
    {
        mid = p + ((r - q)>>1);

　　　　 if ( key < A[mid] )
            return binary_search( A, key, p, mid - 1 );
        else
        if ( key > A[mid] )
            return binary_search( A, key, mid + 1, r );
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

注：

1、二分的实现难点主要在于边界的判定上，在上面的算法中，实现数组区间A[p....r]的查找，递归与迭代的结束条件需要注意。

2、注意溢出问题。

3、若数组中含有重复元素，在查找该重复元素时会返回其中一个的下标，不确定是其中哪个。

四、时间复杂度分析

    二分查找为分治法，其时间复杂度为O( logN )